我们有时会遇到一些量，它们是多个独立变量的函数。 例如，可能有这样的情形：$y$ 依赖另外两个变量， 其中一个叫 $u$，另一个叫 $v$。用符号写就是 \[ dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du + \dfrac{\partial y}{\partial v}\, dv; \] \[ y = f(u, v). \] 取最简单的具体情形。令 \[ y = u×v. \] 该怎么办呢？如果把 $v$ 当作常数，并关于 $u$ 求导，我们会得到 \[ dy_v = v\, du; \] 或者，如果把 $u$ 当作常数，并关于 $v$ 求导，就有： \[ dy_u = u\, dv. \]
这里放在下标中的小字母，是用来表示在这个操作中哪个量被当作常数。
另一种表示求导只部分地完成的方法， 也就是只关于独立变量中的一个求导的方法， 是用像 $\partial$ 这样的希腊字母式符号来写导数， 而不是用小写 $d$。这样 \begin{align*} \frac{\partial y}{\partial u} &= v, \\ \frac{\partial y}{\partial v} &= u. \end{align*}
如果分别把 $v$ 和 $u$ 的这些值代进去，就有 \[ dy_v = \frac{\partial y}{\partial u}\, du, \\ dy_u = \frac{\partial y}{\partial v}\, dv, \]
它们就是偏微分。
但是，想一想你就会发现，$y$ 的总变化同时依赖这两个东西。 也就是说，如果两者都在变化，真正的 $dy$ 应该写成 \[ dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du + \dfrac{\partial y}{\partial v}\, dv; \] 这叫作总微分。有些书把它写作 $dy = \left(\dfrac{dy}{du}\right)\, du + \left(\dfrac{dy}{dv}\right)\, dv$。
例 (1) 求表达式 $w = 2ax^2 + 3bxy + 4cy^3$ 的偏导数。 答案是： \[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x} &= 4ax + 3by. \\ \frac{\partial w}{\partial y} &= 3bx + 12cy^2. \end{aligned} \right\} \]
第一个是在假设 $y$ 为常数时得到的， 第二个是在假设 $x$ 为常数时得到的；于是 \[ dw = (4ax+3by)\, dx + (3bx+12cy^2)\, dy. \]
例 (2) 令 $z = x^y$。 于是，先把 $y$、再把 $x$ 当作常数，按通常方法得到 \[ \left. \begin{aligned} \dfrac{\partial z}{\partial x} &= yx^{y-1}, \\ \dfrac{\partial z}{\partial y} &= x^y × \log_\epsilon x, \end{aligned}\right\} \] 所以 $dz = yx^{y-1}\, dx + x^y \log_\epsilon x \, dy$。
例 (3) 一个高为 $h$、底面半径为 $r$ 的圆锥， 体积为 $V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$。如果高度保持不变而 $r$ 改变， 体积关于半径的变化率，与半径保持不变而高度改变时 体积关于高度的变化率不同，因为 \[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial V}{\partial r} &= \dfrac{2\pi}{3} rh, \\ \frac{\partial V}{\partial h} &= \dfrac{\pi}{3} r^2. \end{aligned}\right\} \]
当半径和高度都改变时，变化量由 $dV = \dfrac{2\pi}{3} rh\, dr + \dfrac{\pi}{3} r^2\, dh$ 给出。
例 (4) 在下面的例子中， $F$ 和 $f$ 表示任意形式的两个函数。例如，它们可以是正弦函数、 指数函数，或者只是两个独立变量 $t$ 与 $x$ 的代数函数。 明白这一点之后，取表达式 \begin{align*} y &= F(x+at) + f(x-at), \\ \text{即}\;\quad y &= F(w) + f(v); \\ \text{其中}\;\quad w &= x+at,\quad \text{且}\quad v = x-at. \\ \text{于是}\;\quad \frac{\partial y}{\partial x} &= \frac{\partial F(w)}{\partial w} · \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial f(v)}{\partial v} · \frac{\partial v}{\partial x} \\ &= F'(w) · 1 + f'(v) · 1 \end{align*} （其中数字 $1$ 只是 $w$ 和 $v$ 中 $x$ 的系数） \begin{align*} \text{且}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} &= F''(w) + f''(v). && \\ \text{还有}\; \ \frac{\partial y}{\partial t} &= \frac{\partial F(w)}{\partial w} · \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial f(v)}{\partial v} · \frac{\partial v}{\partial t} \\ &= F'(w) · a - f'(v) a; \\ \text{且}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= F''(w)a^2 + f''(v)a^2; \\ \text{由此}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= a^2\, \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. \end{align*}
这个微分方程在数学物理中极其重要。
令 $x$ 和 $y$ 为绳子两段的长度。第三段为 $30-(x+y)$， 而三角形面积为 $A = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-30+x+y)}$， 其中 $s$ 是半周长，即 $15$，所以 $A = \sqrt{15P}$，其中 \begin{align*} P &= (15-x)(15-y)(x+y-15) \\ &= xy^2 + x^2y - 15x^2 - 15y^2 - 45xy + 450x + 450y - 3375. \end{align*}
显然，当 $P$ 取得极大值时，$A$ 也取得极大值。 \[ dP = \dfrac{\partial P}{\partial x}\, dx + \dfrac{\partial P}{\partial y}\, dy. \] 要取得极大值（显然在这里不会是极小值），必须同时有 \[ \dfrac{\partial P}{\partial x} = 0 \quad\text{且}\quad \dfrac{\partial P}{\partial y} = 0; \] 也就是 \begin{aligned} 2xy - 30x + y^2 - 45y + 450 &= 0, \\ 2xy - 30y + x^2 - 45x + 450 &= 0. \end{aligned}
一个立刻可得的解是 $x=y$。
现在把这个条件代入 $P$ 的值，就得到 \[ P = (15-x)^2 (2x-15) = 2x^3 - 75x^2 + 900x - 3375. \] 对于极大值或极小值，$\dfrac{dP}{dx} = 6x^2 - 150x + 900 = 0$， 这给出 $x=15$ 或 $x=10$。
显然，$x=15$ 给出极小面积；$x=10$ 给出极大面积， 因为 $\dfrac{d^2 P}{dx^2} = 12x - 150$，当 $x=15$ 时为 $+30$， 当 $x=10$ 时为 $-30$。
例 (6) 求一辆普通铁路煤车的尺寸。 它的端面为矩形；要求在给定体积 $V$ 下， 侧面和底面合起来的面积尽可能小。
这辆车是一个顶部开口的长方体箱子。 令 $x$ 为长，$y$ 为宽；则深度为 $\dfrac{V}{xy}$。 表面积为 $S=xy + \dfrac{2V}{x} + \dfrac{2V}{y}$。 \[ dS = \frac{\partial S}{\partial x}\, dx + \frac{\partial S}{\partial y}\, dy = \left(y - \frac{2V}{x^2}\right) dx + \left(x - \frac{2V}{y^2}\right) dy. \] 要取得极小值（显然这里不会是极大值）， \[ y - \frac{2V}{x^2} = 0,\quad x - \frac{2V}{y^2} = 0. \]
这里同样有一个立刻可得的解 $x = y$，所以 $S = x^2 + \dfrac{4V}{x}\quad$；对于极小值， $\dfrac{dS}{dx}= 2x - \dfrac{4V}{x^2} =0$，并且 \[ x = \sqrt[3]{2V}. \]
(2) 求表达式关于 $x$、$y$ 和 $z$ 的偏导数： \[ x^2yz + xy^2z + xyz^2 + x^2y^2z^2. \]
(3) 设 $r^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2$。
求 $\dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial r}{\partial y} + \dfrac{\partial r}{\partial z}$ 的值。还要求 $\dfrac{\partial^2r}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial z^2}$ 的值。
(4) 求 $y=u^v$ 的总微分。
(5) 求 $y=u^3 \sin v$、$y = (\sin x)^u$ 以及 $y = \dfrac{\log_\epsilon u}{v}$ 的总微分。
(6) 验证：三个量 $x$、$y$、$z$ 的乘积为常数 $k$ 时， 当这三个量相等，它们的和取得极小值。
(7) 求函数的极大值或极小值： \[ u = x + 2xy + y. \]
(8) 邮局规定，任何包裹的尺寸不得使其长度加周长超过 $6$ 英尺。 可以邮寄的最大体积是多少？（a）包裹横截面为矩形时； （b）包裹横截面为圆形时。
(9) 把 $\pi$ 分成 $3$ 部分，使它们正弦的连乘积取得极大值或极小值。
(10) 求 $u = \dfrac{\epsilon^{x+y}}{xy}$ 的极大值或极小值。
(11) 求下面函数的极大值和极小值： \[ u = y + 2x - 2 \log_\epsilon y - \log_\epsilon x. \]
(12) 一个给定容量的架空索道吊桶，形状是水平放置的等腰三角棱柱， 顶角在下方，对面的面敞开。求它的尺寸，使建造时所用铁皮最少。
(1) $x^3 - 6x^2 y - 2y^2;\quad \frac{1}{3} - 2x^3 - 4xy$.
(2) $2xyz + y^2 z + z^2 y + 2xy^2 z^2$;
$2xyz + x^2 z + xz^2 + 2x^2 yz^2$;
$2xyz + x^2 y + xy^2 + 2x^2 y^2 z$.
(3) $\dfrac{1}{r} \{ \left(x - a\right) + \left( y - b \right) + \left( z - c \right) \} = \dfrac{ \left( x + y + z \right) - \left( a + b + c \right) }{r}$; $\dfrac{3}{r}$.
(4) $dy = vu^{v-1}\, du + u^v \log_\epsilon u\, dv$.
(5) $dy = 3\sin v u^2\, du + u^3 \cos v\, dv$,
$dy = u \sin x^{u-1} \cos x\, dx + (\sin x)^u \log_\epsilon \sin x du$,
$dy = \dfrac{1}{v}\, \dfrac{1}{u}\, du - \log_\epsilon u \dfrac{1}{v^2}\, dv$.
(7) 当 $x = y = -\frac{1}{2}$ 时为极小值。
(8) （a）长 $2$ 英尺，宽 = 深 = $1$ 英尺，体积 = $2$ 立方英尺。 （b）半径 = $\dfrac{2}{\pi}$ 英尺 = $7.46$ 英寸，长 = $2$ 英尺，体积 = $2.54$。
(9) 三部分全相等；乘积为极大值。
(10) 当 $x = y = 1$ 时为极小值。
(11) 极小值：$x = \frac{1}{2}$ 且 $y = 2$。
(12) 顶角 $= 90°$；两条等腰边 = 长度 = $\sqrt[3]{2V}$。