积分

那个大秘密已经揭开了：这个神秘的符号 $\int$，说到底不过是一个拉长的 $S$，意思只是“……的和”，或者“所有这类量的和”。因此它很像另一个符号 $\sum$（希腊字母西格玛），后者也是求和的记号。不过，数学家们在实际使用这两个符号时有一个区别：$\sum$ 通常用来表示若干有限量的和；而积分号 $\int$ 通常用来表示把大量无限细小的量加起来。这些量其实只是一些元素，合在一起才构成我们所要求的总量。因此 $\int dy = y$，并且 $\int dx = x$.

谁都能明白，任何一个整体都可以想成由许多小块组成；而小块越小，块数就越多。比如，一条一英寸长的线，可以看成由 $10$ 段组成，每段长 $\frac{1}{10}$ 英寸；也可以看成由 $100$ 段组成，每段长 $\frac{1}{100}$ 英寸；或者由 $1,000,000$ 段组成，每段长 $\frac{1}{1,000,000}$ 英寸；如果把这个想法推到想象所能达到的极限，它也可以看成由无穷多个元素组成，而每一个元素都无限小。

你会说，是的，可是这样想有什么用呢？为什么不直接把它当作一个整体来想？理由很简单：有大量情形下，如果不把许多小部分的和算出来，就没法直接算出整个东西有多大。 “积分”这个过程，就是让我们能够计算那些否则不能直接估计的总量。

我们先看一两个简单例子，熟悉一下“把许多分开的部分加起来” 这个想法。

考虑这个级数： \[ 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{16} + \tfrac{1}{32} + \tfrac{1}{64} + \text{等等} \]

这里级数的每一项都是前一项的一半。如果我们能一直加到无穷多项，总和是多少？每个学生都知道答案是 $2$。你愿意的话，可以把它想成一条线。先取一英寸；再加半英寸，再加四分之一英寸；再加八分之一英寸；依此类推。在这个过程中，不管我们在哪一点停下，总还差一小段才能凑成完整的 $2$ 英寸；而差的那一段总和刚刚加上的最后一段一样长。例如，把 $1$、$\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{4}$ 放在一起后停下，还差 $\frac{1}{4}$。如果一直加到 $\frac{1}{64}$，仍然还差 $\frac{1}{64}$。所需的余量总等于最后加上的那一项。只有做无穷多次操作，才真正达到 $2$ 英寸。实际使用时，只要小到画不出来，也就算达到了；大约加到 $10$ 项就够了，因为第十一项是 $\frac{1}{1024}$。如果要小到连惠特沃思测量机也测不出来，只需加到大约 $20$ 项。显微镜甚至看不出第 $18$ 项！所以，无穷多次操作毕竟也没有那么可怕。积分说白了就是那整个一堆东西。不过我们会看到，有些情况下，积分能够给出无穷多次操作之后得到的精确总量。在这些情况下，积分为我们提供了一种快速而容易的方法，得到一个结果；若不用它，就得无止境地辛苦算下去。所以我们最好别浪费时间，赶快学习怎样积分。

曲线的斜率，以及曲线本身。

我们先对曲线的斜率作一点预备考察。我们已经看到，对一条曲线求导，就是求出表示它的斜率的式子（或者表示它在不同点的斜率的式子）。如果斜率（或者各点的斜率）已经给定，我们能不能反过来，把整条曲线重建出来？

回到这里的例（2）。那里有最简单的一类曲线：一条斜直线，它的方程是 \[ y = ax+b. \]

我们知道，这里的 $b$ 表示当 $x= 0$ 时 $y$ 的初始高度；而 $a$，也就是 $\dfrac{dy}{dx}$，就是这条直线的“斜率”。这条直线的斜率是常数。沿着整条线，所有的小三角形

的高度与底边的比例都相同。假设我们把 $dx$ 和 $dy$ 看作有限大小，使得 $10$ 个 $dx$ 合成一英寸，那么就会有十个这样的小三角形：

现在，假设有人只告诉我们 $\dfrac{dy}{dx} = a$，要我们把这条“曲线”重建出来。我们能怎么办？仍把这些小 $d$ 看作有限大小，我们可以画出 $10$ 个，它们都有同样的斜率，然后把它们首尾相接，像这样：

而且，因为所有小段的斜率都相同，它们接起来就会形成图 48 那样的斜直线，其斜率正是 $\dfrac{dy}{dx} = a$。无论我们把 $dy$ 和 $dx$ 看作有限小段还是无限小量，既然它们全都一样，如果把 $y$ 记作所有 $dy$ 的总和，把 $x$ 记作所有 $dx$ 的总和，那么显然有 $\dfrac{y}{x} = a$。可是，这条斜直线应该放在哪里呢？从原点 $O$ 出发，还是从更高处出发？我们掌握的信息只有斜率，并没有任何关于它在 $O$ 上方具体高度的指示；事实上，初始高度是不确定的。无论初始高度是多少，斜率都一样。因此我们不妨猜一下可能需要什么，把这条斜直线放在 $O$ 上方高度为 $C$ 的地方开始。也就是说，我们得到方程 \[ y = ax + C. \]

现在就很明显了：在这个例子里，那个加上的常数表示当 $x = 0$ 时 $y$ 所具有的特定值。

现在来看一个难一点的情形：一条线，它的斜率不是常数，而是越来越向上翘。我们假设随着 $x$ 增大，向上的斜率也按比例越来越大。用符号表示就是： \[ \frac{dy}{dx} = ax. \] 或者，举一个具体例子，取 $a = \frac{1}{5}$，于是 \[ \frac{dy}{dx} = \tfrac{1}{5} x. \]

那么最好先算出几个不同 $x$ 值下的斜率，并把它们画成小图。当

$x =0$	$ \frac{dy}{dx} = 0, $
$x =1$	$ \frac{dy}{dx} = 0.2, $
$x =2$	$ \frac{dy}{dx} = 0.4, $
$x =3$	$ \frac{dy}{dx} = 0.6, $
$x =4$	$ \frac{dy}{dx} = 0.8, $
$x =5$	$ \frac{dy}{dx} = 1.0. $

现在试着把这些小块拼在一起：让每一块底边的中点位于右边适当的距离处，并让它们在角上相接；如图 49 所示。结果当然不是一条光滑曲线，但它是对曲线的近似。如果我们取的小块长度减半、数量加倍，像图 50 那样，近似就会更好。不过，要得到完美的曲线，就应该让每个 $dx$ 及其对应的 $dy$ 都无限小，并且数量无限多。