微积分中有一些最重要的问题，是把时间当作自变量， 然后研究另一个量在时间变化时怎样变化。有些东西会随着时间变大； 另一些会随着时间变小。火车离出发点的距离，会随着时间一直增加。 树会一年年长高。哪一个增长得更快：一株 $12$ 英寸高的植物， 一个月后长到 $14$ 英寸；还是一棵 $12$ 英尺高的树， 一年后长到 $14$ 英尺？
这一章我们会大量使用速率这个词。 这里说的不是救贫税率或水费率（不过即使在那里， 这个词也暗示着一种比例，也就是比率，比如每英镑多少便士）。 甚至也不是出生率或死亡率，尽管这些词表示每千人有多少出生或死亡。 当一辆汽车呼啸而过时，我们会说：速度真吓人！ 当一个挥霍无度的人大把撒钱时，我们会说，这个年轻人的花钱速度惊人。 我们说的速率到底是什么意思？在这两种情况下， 我们脑子里都在比较某件正在发生的事，以及它发生所花的时间。 如果汽车以每秒 $10$ 码的速度从我们身边飞过， 做一点简单的心算就会知道，只要这种速度保持不变， 它等于每分钟 $600$ 码，或者每小时超过 $20$ 英里。
那么，在什么意义上，每秒 $10$ 码的速度和每分钟 $600$ 码是同一个速度？ 十码并不等于 $600$ 码，一秒也不是一分钟。 我们说速率相同，意思是：走过的距离与所用时间之间的比例， 在这两种说法里是一样的。
再举一个例子。一个人手里可能只有几英镑， 却仍然能以一年几百万英镑的速度花钱， 只要他只用这种速度花上几分钟。假设你把一先令递过柜台买东西； 又假设这个动作正好持续一秒。那么，在这短短的动作里， 你花钱的速率就是每秒 $1$ 先令；这等于每分钟 £$3$， 或每小时 £$180$，或每天 £$4320$，或每年 £$1,576,800$！ 如果你口袋里有 £$10$，你可以用每年一百万的速度花钱， 刚好花 $5\frac{1}{4}$ 分钟。
据说 Sandy 到伦敦还不到五分钟，就已经“砰的一下花掉六便士”。 如果他整天都按这种速度花钱，比方说花 $12$ 小时， 那就是每小时花 $6$ 先令，或者每天 £$3$. $12$s.， 一周 £$21$. $12$s.，还没把安息日算进去。
现在试着把这些想法写成微分记号。
在这个例子里，让 $y$ 表示钱，让 $t$ 表示时间。
如果你在花钱，并把短时间 $dt$ 内花掉的钱叫作 $dy$， 那么花钱的速率就是 $\dfrac{dy}{dt}$； 或者更准确地说，应当带上负号写成 $-\dfrac{dy}{dt}$， 因为 $dy$ 是减量，不是增量。不过，钱并不是微积分的好例子， 因为它通常是一跳一跳地来去，不是连续流动的： 你可以一年赚 £$200$，但它并不会整天像细流一样源源不断地进来； 它只会按周、按月或按季度成批进账；你的支出也会以一次次付款的形式突然出去。
运动物体的速度更适合说明速率这个概念。 从伦敦（Euston 车站）到利物浦是 $200$ 英里。 如果一列火车 $7$ 点离开伦敦，$11$ 点到达利物浦， 你知道它在 $4$ 小时内走了 $200$ 英里， 所以平均速率必然是每小时 $50$ 英里；因为 $\frac{200}{4} = \frac{50}{1}$。 这里你其实是在心里比较走过的距离和所花的时间。 你是在把一个量除以另一个量。如果 $y$ 是总距离，$t$ 是总时间， 显然平均速率是 $\dfrac{y}{t}$。 不过，速度实际上并不是一路恒定的：出发时，以及旅程末尾减速时， 速度都较小。很可能在某一段下坡行驶时，速度超过了每小时 $60$ 英里。 如果在某个特定的时间小段 $dt$ 内，对应走过的距离小段是 $dy$， 那么旅程那一段的速度就是 $\dfrac{dy}{dt}$。 一个量（这里是距离）相对于另一个量（这里是时间）变化的速率， 恰当地说，就是前者关于后者的导数。用科学语言说， 速度就是在某个给定方向上走过极小距离的速率； 因此可以写成 \[ v = \dfrac{dy}{dt}. \]
但如果速度 $v$ 不是均匀的，那它必然不是在增加就是在减少。 速度增加的速率叫作加速度。如果一个运动物体在某一瞬间， 在时间小段 $dt$ 内增加了速度 $dv$，那么那一瞬间的加速度 $a$ 可以写成 \[ a = \dfrac{dv}{dt}; \] 但 $dv$ 本身就是 $d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)$。因此可以写成 \[ a = \frac{d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)}{dt}; \] 这通常写作 $a = \dfrac{d^2y}{dt^2}$； 也就是说，加速度是距离关于时间的二阶导数。 加速度表示单位时间内速度的变化， 比如多少英尺每秒每秒；所用记号为 $\text{英尺} ÷ \text{秒}^2$。
火车刚开始运动时，它的速度 $v$ 很小； 但它很快加速，也就是发动机出力把它催快。 所以它的 $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ 很大。 当它达到最高速度后，就不再加速了， 于是这时 $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ 降为零。 但当它接近停车地点时，速度开始慢下来； 如果刹车，确实可能非常快地慢下来。 在这段减速或速度放缓的时期， $\dfrac{dv}{dt}$ 的值，也就是 $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ 的值，将是负的。
要使质量为 $m$ 的物体加速，就需要持续施加力。 使一个质量加速所需的力，与质量成正比， 也与所给予的加速度成正比。因此，对于力 $f$，可以写出表达式 \begin{align*} f &= ma;\\ \text{或}\;\; f &= m \frac{dv}{dt}; \\ \text{或}\;\; f &= m \frac{d^2y}{dt^2}. \end{align*}
质量与其运动速度的乘积叫作动量，用符号表示就是 $mv$。 如果对动量关于时间求导，就得到动量变化率 $\dfrac{d(mv)}{dt}$。 不过，因为 $m$ 是常量，这可以写成 $m \dfrac{dv}{dt}$； 从上面可知，它与 $f$ 相同。也就是说，力既可以表示为质量乘以加速度， 也可以表示为动量的变化率。
再说，如果用一个力推动某物（抵抗一个大小相等、方向相反的反作用力）， 它就做了功；所做的功量，用力与其作用点沿该力方向前进距离的乘积来衡量。 所以，如果一个力 $f$ 向前移动了长度 $y$，所做的功（记作 $w$）就是 \[ w = f × y; \] 这里我们把 $f$ 看作恒力。如果力在长度范围 $y$ 的不同部分会变化， 那么就必须找出它在各点的值的表达式。 如果 $f$ 是沿着长度小段 $dy$ 的力，那么所做的功量就是 $f × dy$。 但由于 $dy$ 只是一个长度小段，所做的也只是一个功的小段。 如果用 $w$ 表示功，那么功的小段就是 $dw$；于是有 \begin{align*} dw &= f × dy; \\ \end{align*} 这可以写成 \begin{align*} dw &= ma·dy; \\ \text{或}\; dw &= m \frac{d^2y}{dt^2}· dy; \\ \text{或}\; dw &= m \frac{dv}{dt}· dy. \\ \end{align*} 进一步，把式子移项，可以写成 \begin{align*} \frac{dw}{dy} &= f. \end{align*}
这给出了力的第三种定义： 如果力被用来在某个方向上产生位移，那么这个力（在该方向上） 等于沿该方向每单位长度所做功的速率。 在最后这句话里，速率这个词显然不是时间意义上的， 而是比率或比例意义上的。
Isaac Newton 爵士（和 Leibniz 一样）是微积分方法的发明者之一。 他把所有正在变化的量都看作在流动； 而我们今天称作导数的那个比值，他看作该量的流动速率， 也就是该量的流数。他不用 $dy$、$dx$ 和 $dt$ 这种记号 （这是 Leibnitz 的记法），而是有自己的一套记号。 如果 $y$ 是一个会变化，或者说会“流动”的量， 那么他用来表示它的变化率（或“流数”）的符号就是 $\dot{y}$。如果 $x$ 是变量，那么它的流数就记作 $\dot{x}$。 字母上方的点表示它已经被求导。 但这种记号没有告诉我们是关于哪个自变量求导的。 看到 $\dfrac{dy}{dt}$ 时，我们知道 $y$ 是关于 $t$ 求导； 看到 $\dfrac{dy}{dx}$ 时，我们知道 $y$ 是关于 $x$ 求导。 但如果只看到 $\dot{y}$，不看上下文就无法知道它表示的是 $\dfrac{dy}{dx}$、$\dfrac{dy}{dt}$、$\dfrac{dy}{dz}$，还是关于别的什么变量。 因此，这种流数记号提供的信息比微分记号少， 也就大体上退出了使用。不过它很简单， 如果我们约定只在时间是自变量的情形中使用它，它就有一个优点。 在这种情况下，$\dot{y}$ 表示 $\dfrac{dy}{dt}$， $\dot{u}$ 表示 $\dfrac{du}{dt}$；而 $\ddot{x}$ 表示 $\dfrac{d^2x}{dt^2}$。
采用这种流数记号，上面几段讨论过的力学方程可以写成如下形式：
| 距离 | $x$ |
| 速度 | $v = \dot{x}$ |
| 加速度 | $a = \dot{v} = \ddot{x}$ |
| 力 | $f = m\dot{v} = m\ddot{x}$ |
| 功 | $w = x × m \ddot{x}$ |
例子 (1) 一个物体运动时，它离某点 $O$ 的距离 $x$（以英尺计） 由关系式 $x = 0.2t^2 + 10.4$ 给出， 其中 $t$ 是从某一瞬间起经过的时间（以秒计）。 求物体开始运动后 $5$ 秒时的速度和加速度； 再求走过距离为 $100$ 英尺时的对应值。 还要求它运动前 $10$ 秒的平均速度。 （假设向右的距离和运动为正。） 现在 \[ x = 0.2t^2 + 10.4 \\ v = \dot{x} = \frac{dx}{dt} = 0.4t;\quad\text{且}\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{常数。} \]
当 $t = 0$ 时，$x = 10.4$ 且 $v = 0$。 物体从点 $O$ 右侧 $10.4$ 英尺处出发； 时间也是从物体开始运动的瞬间算起。
当 $t = 5$ 时，$v = 0.4 × 5 = 2 \text{英尺/秒}$； $a = 0.4 \text{英尺/秒}^2$。
当 $x = 100$ 时，$100 = 0.2t^2 + 10.4$，即 $t^2 = 448$， 所以 $t = 21.17 \text{ 秒}$；$v = 0.4 × 21.17 = 8.468 \text{英尺/秒}$。
当 $t = 10$ 时， \begin{gather*} \text{走过的距离} = 0.2 × 10^2 + 10.4 - 10.4 = 20 \text{英尺} \\ \text{平均速度} = \tfrac{20}{10} = 2 \text{英尺/秒} \end{gather*}
（这正好等于时间区间中点 $t = 5$ 时的速度； 因为加速度是常数，速度从 $t = 0$ 时的零， 均匀变化到 $t = 10$ 时的 $4 \text{英尺/秒}$。）
(2) 在上面的问题中，假设 \begin{gather*} x = 0.2t^2 + 3t + 10.4.\\ v = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} = 0.4t + 3;\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{常数}. \end{gather*}
当 $t = 0$ 时，$x = 10.4$ 且 $v = 3$ 英尺/秒； 时间是从物体经过距点 $O$ 为 $10.4$ 英尺的位置那一瞬间开始算的， 而那时它的速度已经是 $3$ 英尺/秒。 要找出从它开始运动以来经过了多久，就令 $v = 0$； 于是 $0.4t + 3 = 0$，$t= -\frac{3}{.4} = -7.5$ 秒。 物体是在开始观察时间之前 $7.5$ 秒就开始运动的； 再过 $5$ 秒对应 $t = -2.5$，且 $v = 0.4 × -2.5 + 3 = 2$ 英尺/秒。
当 $x = 100$ 英尺时， \[ 100 = 0.2t^2 + 3t + 10.4;\quad \text{即 } t^2 + 15t - 448 = 0; \] 所以 $t = 14.95$ 秒，$v = 0.4 × 14.95 + 3 = 8.98$ 英尺/秒。
要找出运动最初 $10$ 秒内走过的距离， 必须知道物体开始运动时离点 $O$ 有多远。
当 $t = -7.5$ 时， \[ x = 0.2 × (-7.5)^2 - 3 × 7.5 + 10.4 = -0.85 \text{英尺}, \] 也就是在点 $O$ 左侧 $0.85$ 英尺处。
现在，当 $t = 2.5$ 时， \[ x = 0.2 × 2.5^2 + 3 × 2.5 + 10.4 = 19.15. \]
所以在 $10$ 秒内，走过的距离为 $19.15 + 0.85 = 20$ 英尺，并且 \[ \text{平均速度} = \tfrac{20}{10} = 2 \text{ 英尺/秒}. \]
(3) 再看一个类似的问题，距离由 $x = 0.2t^2 - 3t + 10.4$ 给出。那么 $v = 0.4t - 3$， $a = 0.4 = \text{常数}$。当 $t = 0$ 时，和以前一样 $x = 10.4$， 而 $v = -3$；所以物体沿着与前几种情形相反的方向运动。 不过，因为加速度为正，可以看出这个速度的大小会随着时间推移而减小， 直到变为零；此时 $v = 0$，即 $0.4t - 3 = 0$， 也就是 $t = 7.5$ 秒。此后速度变为正； 物体开始运动 $5$ 秒后，$t = 12.5$，并且 \[ v = 0.4 × 12.5 - 3 = 2 \text{ 英尺/秒}. \]
当 $x = 100$ 时， \[ 100 = 0.2t^2 - 3t + 10.4,\quad \text{即 } t^2 - 15t - 448 = 0, \\ \text{且}\; t = 29.95;\ v = 0.4 × 29.95 - 3 = 8.98 \text{英尺/秒} \]
当 $v$ 为零时，$x = 0.2 × 7.5^2 - 3 × 7.5 + 10.4 = -0.85$， 这说明物体在停下来之前，向点 $O$ 的另一侧退回到了 $0.85$ 英尺处。 十秒以后 \[ t = 17.5 \text{ 且 } x = 0.2 × 17.5^2 - 3 × 17.5 + 10.4 = 19.15. \] $\text{走过的距离} = .85 + 19.15 = 20.0$，平均速度仍然是 $2$ 英尺/秒。
(4) 再考虑同一类的另一个问题： $x = 0.2t^3 - 3t^2 + 10.4$；$v = 0.6t^2 - 6t$；$a = 1.2t - 6$。 加速度不再是常数。
当 $t = 0$ 时，$x = 10.4$，$v = 0$，$a = -6$。 物体处于静止，但正要以负加速度开始运动， 也就是朝点 $O$ 的方向获得速度。
(5) 如果有 $x = 0.2t^3 - 3t + 10.4$， 那么 $v = 0.6t^2 - 3$，且 $a = 1.2t$。
当 $t = 0$ 时，$x = 10.4$；$v = -3$；$a = 0$。
物体正以 $3$ 英尺/秒的速度朝点 $O$ 运动， 而且就在那一瞬间，速度是均匀的。
由此可见，运动状态总可以直接从时间-距离方程及其一阶、二阶导函数中确定。 在最后两个情形中，最初 $10$ 秒内的平均速度， 与开始后 $5$ 秒时的速度不再相同， 因为速度并不是均匀增加的，加速度也不再是常数。
(6) 一个轮子转过的角度 $\theta$（以弧度计）由 $\theta = 3 + 2t - 0.1t^3$ 给出，其中 $t$ 是从某一瞬间起的时间（以秒计）； 求角速度 $\omega$ 和角加速度 $\alpha$： (a) $1$ 秒后；(b) 转过一整圈后。 它在什么时候静止？到那一瞬间为止，它转过了多少圈？
写出角速度和角加速度： \[ \omega = \dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt} = 2 - 0.3t^2,\quad \alpha = \ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -0.6t. \]
当 $t = 0$ 时，$\theta = 3$；$\omega = 2$ 弧度/秒；$\alpha = 0$。
当 $t = 1$ 时， \[ \omega = 2 - 0.3 = 1.7 \text{弧度/秒};\quad \alpha = -0.6 \text{弧度/秒}^2. \]
这是减速；轮子正在慢下来。
转过 $1$ 圈后， \[ \theta = 2\pi = 6.28;\quad 6.28 = 3 + 2t - 0.1t^3. \]
画出图像 $\theta = 3 + 2t - 0.1t^3$， 可以得到使 $\theta = 6.28$ 的 $t$ 值； 它们是 $2.11$ 和 $3.03$（还有第三个负值）。
当 $t = 2.11$ 时， \begin{gather*} \theta = 6.28;\quad\omega = 2 - 1.34 = 0.66 \text{ 弧度/秒}; \\ \alpha = -1.27 \text{ 弧度/秒}^2. \\ \end{gather*} 当 $t = 3.03$ 时， \begin{gather*} \theta = 6.28;\quad \omega = 2 - 2.754 = -0.754 \text{ 弧度/秒}; \\ \alpha = -1.82 \text{ 弧度/秒}^2. \end{gather*}
速度已经反向。轮子显然在这两个时刻之间静止过； 当 $\omega = 0$ 时它静止，也就是 $0 = 2 - 0.3t^3$ 时， 即 $t = 2.58 \text{ 秒}$ 时；它已经转过 \[ \frac{\theta}{2\pi} = \frac{3 + 2 × 2.58 - 0.1 × 2.58^3}{6.28} = 1.025 \text{ 圈}. \]
(1) 若 $y = a + bt^2 + ct^4$，求 $\dfrac{dy}{dt}$ 和 $\dfrac{d^2y}{dt^2}$。
答。 $\dfrac{dy}{dt} = 2bt + 4ct^3$; $\dfrac{d^2y}{dt^2} = 2b + 12ct^2$。
(2) 一个物体在空中自由下落，在 $t$ 秒内下落的距离 $s$（以英尺计） 由方程 $s = 16t^2$ 表示。画出表示 $s$ 与 $t$ 关系的曲线。 并求物体从释放起经过下列时间时的速度： $t = 2$ 秒；$t = 4.6$ 秒；$t = 0.01$ 秒。
(3) 若 $x = at - \frac{1}{2}gt^2$，求 $\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$。
(4) 若一个物体按如下规律运动： \[ s = 12 - 4.5t + 6.2t^2, \] 求 $t = 4$ 秒时它的速度；其中 $s$ 以英尺计。
(5) 求前一例中物体的加速度。 对于所有 $t$ 的值，加速度都相同吗？
(6) 一个转动轮子转过的角度 $\theta$（以弧度计）， 与从开始起经过的时间 $t$（以秒计）之间满足规律： \[ \theta = 2.1 - 3.2t + 4.8t^2. \]
求经过 $1\frac{1}{2}$ 秒时该轮子的角速度（以弧度每秒计）。 并求它的角加速度。
(7) 一个滑块运动时，在运动的前一段， 它离出发点的距离 $s$（以英寸计）由表达式给出： \[ s = 6.8t^3 - 10.8t;\quad\text{其中 }t\text{ 以秒计}. \]
求任意时刻的速度和加速度表达式； 并据此求 $3$ 秒后的速度和加速度。
(8) 一个上升气球的运动满足如下条件： 任意时刻它的高度 $h$（以英里计）由表达式 $h = 0.5 + \frac{1}{10}\sqrt[3]{t-125}$ 给出；其中 $t$ 以秒计。
求任意时刻的速度和加速度表达式。 画出曲线，表示上升最初十分钟内高度、速度和加速度的变化。
(9) 一块石头向下投入水中， 它到达水面后 $t$ 秒时的深度 $p$（以米计）由表达式给出： \[ p = \frac{4}{4+t^2} + 0.8t - 1. \]
求任意时刻的速度和加速度表达式。 求 $10$ 秒后的速度和加速度。
(10) 一个物体这样运动：从开始起经过时间 $t$ 后走过的距离 由 $s = t^n$ 给出，其中 $n$ 是常数。 当速度从第 $5$ 秒到第 $10$ 秒变为两倍时，求 $n$ 的值； 又当第 $10$ 秒末速度的数值等于加速度的数值时，也求 $n$ 的值。
(2) 64；147.2；以及 0.32 英尺每秒。
(3) $x = a - gt$; $\ddot{x} = -g$.
(4) $45.1$ 英尺每秒。
(5) $12.4$ 英尺每秒每秒。 是。
(6) 角速度 ${} = 11.2$ 弧度每秒；角加速度 ${}= 9.6$ 弧度每秒每秒。
(7) $v = 20.4t^2 - 10.8$. $a = 40.8t$. $172.8$ 英寸/秒，$122.4 \text{英寸/秒}^2$。
(8) $v = \dfrac{1}{30 \sqrt[3]{(t - 125)^2}}$, $a = - \dfrac{1}{45 \sqrt[3]{(t - 125)^5}}$.
(9) $v = 0.8 - \dfrac{8t}{(4 + t^2)^2}$, $a = \dfrac{24t^2 - 32}{(4 + t^2)^3}$, $0.7926$ 和 $0.00211$。
(10) $n = 2$, $n = 11$.