有时候，人会被难住，因为要求导的式子太复杂，不能直接下手。
比如这个方程： \[ y = (x^2+a^2)^{\frac{3}{2}} \] 对初学者来说就很别扭。
绕过这个困难的小诀窍是这样： 用某个符号，比如 $u$，来代表表达式 $x^2 + a^2$； 于是方程变成 \[ y = u^{\frac{3}{2}}, \] 这个就容易处理了；因为 \[ \frac{dy}{du} = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}. \] 然后处理表达式 \[ u = x^2 + a^2, \] 并对它关于 $x$ 求导， \[ \frac{du}{dx} = 2x. \] 于是剩下的就顺风顺水了； \begin{align*} \text{因为}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx}; \\ \text{也就是，}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} × 2x \\ &= \tfrac{3}{2} (x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}} × 2x \\ &= 3x(x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}}; \end{align*} 这样，这个诀窍就完成了。
不久以后，当你学会怎样处理正弦、余弦和指数时， 你会发现这个小诀窍越来越有用。
例子 我们用几个例子来练习这个小诀窍。
令 $a+x = u$。 \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 1;\quad y=u^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = \tfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \tfrac{1}{2} (a+x)^{-\frac{1}{2}}.\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a+x}}. \end{align*}
(2) 对 $y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x^2}}$ 求导。
令 $a + x^2 = u$。 \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 2x;\quad y=u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = -\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}.\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(a+x^2)^3}}. \end{align*}
(3) 对 $y = \left(m - nx^{\frac{2}{3}} + \dfrac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^a$ 求导。
令 $m - nx^{\frac{2}{3}} + px^{-\frac{4}{3}} = u$。 \begin{gather*} \frac{du}{dx} = -\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} - \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}};\\ y = u^a;\quad \frac{dy}{du} = a u^{a-1}. \\ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} = -a\left(m -nx^{\frac{2}{3}} + \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^{a-1} (\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} + \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}). \end{gather*}
(4) 对 $y=\dfrac{1}{\sqrt{x^3 - a^2}}$ 求导。
令 $u = x^3 - a^2$。 \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 3x^2;\quad y = u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}(x^3 - a^2)^{-\frac{3}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx} = -\frac{3x^2}{2\sqrt{(x^3 - a^2)^3}}. \end{align*}
(5) 对 $y=\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$ 求导。
把它写作 $y=\dfrac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{(1+x)^{\frac{1}{2}}}$。 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} - (1-x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx}}{1+x}. \]
（也可以写作 $y = (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{-\frac{1}{2}}$， 再按乘积来求导。）
照上面例 (1) 那样做，得到 \[ \frac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}; \quad\text{且}\quad \frac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}. \]
因此 \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}} - \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^3}};\\ \text{或}\; \frac{dy}{dx} &= - \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}. \end{align*}
(6) 对 $y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1+x^2}}$ 求导。
可以把它写成 \begin{gather*} y = x^{\frac{3}{2}}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}; \\ \frac{dy}{dx} = \tfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} × \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \end{gather*}
按照上面例 (2) 的做法，对 $(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$ 求导，得到 \[ \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}}; \] 所以 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}} - \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2)^3}} = \frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2)^3}}. \]
(7) 对 $y=(x+\sqrt{x^2+x+a})^3$ 求导。
令 $x+\sqrt{x^2+x+a}=u$。 \begin{gather*} \frac{du}{dx} = 1 + \frac{d\bigl[(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \\ y = u^3;\quad\text{且}\quad \frac{dy}{du} = 3u^2= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2. \end{gather*}
现在令 $(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}=v$ 且 $(x^2+x+a) = w$。 \begin{align*} \frac{dw}{dx} &= 2x+1;\quad v = w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} × \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \\ \text{因此}\; \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2 \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right). \end{align*}
(8) 对 $y=\sqrt{\dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}} \sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}$ 求导。
得到 \begin{align*} y &= \frac{(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2-x^2)^{\frac{1}{3}}} {(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2+x^2)^{\frac{1}{3}}} = (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}. \\ \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{d\bigl[(a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\bigr]}{dx} + \frac{d\bigl[(a^2+x^2)^{\frac{1}{6}}\bigr]}{(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}}\, dx}. \end{align*}
令 $u = (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}$ 且 $v = (a^2 - x^2)$。 \begin{align*} u &= v^{-\frac{1}{6}};\quad \frac{du}{dv} = -\frac{1}{6}v^{-\frac{7}{6}};\quad \frac{dv}{dx} = -2x. \\ \frac{du}{dx} &= \frac{du}{dv} × \frac{dv}{dx} = \frac{1}{3}x(a^2-x^2)^{-\frac{7}{6}}. \end{align*}
令 $w = (a^2 + x^2)^{\frac{1}{6}}$ 且 $z = (a^2 + x^2)$。 \begin{align*} w &= z^{\frac{1}{6}};\quad \frac{dw}{dz} = \frac{1}{6}z^{-\frac{5}{6}};\quad \frac{dz}{dx} = 2x. \\ \frac{dw}{dx} &= \frac{dw}{dz} × \frac{dz}{dx} = \frac{1}{3} x(a^2 + x^2)^{-\frac{5}{6}}. \end{align*}
因此 \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{7}{6}}} + \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2+x^2)^{\frac{5}{6}}}; \\ \text{或}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{x}{3} \left[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2)^7}} + \frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2)^5]}} \right]. \end{align*}
(9) 对 $y^n$ 关于 $y^5$ 求导。 \[ \frac{d(y^n)}{d(y^5)} = \frac{ny^{n-1}}{5y^{5-1}} = \frac{n}{5} y^{n-5}. \]
(10) 求 $y = \dfrac{x}{b} \sqrt{(a-x)x}$ 的一阶和二阶导数。 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{b}\, \frac{d\bigl\{\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}}\bigr\}}{dx} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}. \]
令 $\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}} = u$，并令 $(a-x)x = w$； 于是 $u = w^{\frac{1}{2}}$。 \[ \frac{du}{dw} = \frac{1}{2} w^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}. \] \begin{align*} &\frac{dw}{dx} = a-2x.\\ &\frac{du}{dw} × \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}
因此 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b} = \frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}. \]
现在 \begin{align*} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^2(a-x)x} \\ &= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}
（后面我们会用到这最后两个导数。见第 XII 章，习题 11。）
对下列各式求导：
(1) $y = \sqrt{x^2 + 1}$.
(2) $y = \sqrt{x^2+a^2}$.
(3) $y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x}}$.
(4) $y = \dfrac{a}{\sqrt{a-x^2}}$.
(5) $y = \dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2}$.
(6) $y = \dfrac{\sqrt[3]{x^4+a}}{\sqrt[2]{x^3+a}}$.
(7) $y = \dfrac{a^2+x^2}{(a+x)^2}$.
(8) 对 $y^5$ 关于 $y^2$ 求导。
(9) 对 $y = \dfrac{\sqrt{1 - \theta^2}}{1 - \theta}$ 求导。
(1) $\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + 1}}$.
(2) $\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + a^2}}$.
(3) $- \dfrac{1}{2 \sqrt{(a + x)^3}}$.
(4) $\dfrac{ax}{\sqrt{(a - x^2)^3}}$.
(5) $\dfrac{2a^2 - x^2}{x^3 \sqrt{ x^2 - a^2}}$.
(6) $ \dfrac{\frac{3}{2} x^2 \left[ \frac{8}{9} x \left( x^3 + a \right) - \left( x^4 + a \right) \right]}{(x^4 + a)^{\frac{2}{3}} (x^3 + a)^{\frac{3}{2}}}$
(7) $\dfrac{2a \left(x - a \right)}{(x + a)^3}$.
(8) $\frac{5}{2} y^3$.
(9) $\dfrac{1}{(1 - \theta) \sqrt{1 - \theta^2}}$.
这个过程可以推广到三个或更多导数， 因此 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz} × \dfrac{dz}{dv} × \dfrac{dv}{dx}$。
例子 (1) 若 $z = 3x^4$; $v = \dfrac{7}{z^2}$; $y =\sqrt{1+v}$，求 $\dfrac{dv}{dx}$。
我们有 \begin{align*} \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{2\sqrt{1+v}};\quad \frac{dv}{dz} = -\frac{14}{z^3};\quad \frac{dz}{dx} = 12x^3. \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{168x^3}{(2\sqrt{1+v})z^3} = -\frac{28}{3x^5\sqrt{9x^8+7}}. \end{align*}
(2) 若 $t = \dfrac{1}{5\sqrt{\theta}}$; $x = t^3 + \dfrac{t}{2}$; $v = \dfrac{7x^2}{\sqrt[3]{x-1}}$， 求 $\dfrac{dv}{d\theta}$。 \[ \frac{dv}{dx} = \frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^4}};\quad \frac{dx}{dt} = 3t^2 + \tfrac{1}{2};\quad \frac{dt}{d\theta} = -\frac{1}{10\sqrt{\theta^3}}. \\ \text{因此}\; \frac{dv}{d\theta} = -\frac{7x(5x-6)(3t^2+\frac{1}{2})} {30\sqrt[3]{(x-1)^4} \sqrt{\theta^3}}, \] 这个表达式中，$x$ 必须替换成它的值， $t$ 也必须替换成用 $\theta$ 表示的值。
(3) 若 $\theta = \dfrac{3a^2x}{\sqrt{x^3}}$; $\omega = \dfrac{\sqrt{1-\theta^2}}{1+\theta}$; 且 $\phi = \sqrt{3} - \dfrac{1}{\omega\sqrt{2}}$， 求 $\dfrac{d\phi}{dx}$。
得到 \begin{gather*} \theta = 3a^2x^{-\frac{1}{2}};\quad \omega = \sqrt{\frac{1-\theta}{1+\theta}};\quad \text{且}\quad \phi = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{2}} \omega^{-1}. \\ \frac{d\theta}{dx} = -\frac{3a^2}{2\sqrt{x^3}};\quad \frac{d\omega}{d\theta} = -\frac{1}{(1+\theta)\sqrt{1-\theta^2}} \end{gather*} （见这里的例 5）；并且 \[ \frac{d\phi}{d\omega} = \frac{1}{\sqrt{2}\omega^2}. \]
所以 $\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{2} × \omega^2} × \dfrac{1}{(1+\theta) \sqrt{1-\theta^2}} × \dfrac{3a^2}{2\sqrt{x^3}}$.
现在先把 $\omega$ 替换成它的值，再把 $\theta$ 替换成它的值。
(1) 若 $u = \frac{1}{2}x^3$; $v = 3(u+u^2)$; 且 $w = \dfrac{1}{v^2}$，求 $\dfrac{dw}{dx}$。
(2) 若 $y = 3x^2 + \sqrt{2}$; $z = \sqrt{1+y}$; 且 $v = \dfrac{1}{\sqrt{3}+4z}$， 求 $\dfrac{dv}{dx}$。
(3) 若 $y = \dfrac{x^3}{\sqrt{3}}$; $z = (1+y)^2$; 且 $u = \dfrac{1}{\sqrt{1+z}}$， 求 $\dfrac{du}{dx}$。
(1) $\dfrac{dw}{dx} = \dfrac{3x^2 \left( 3 + 3x^3 \right)} {27 \left(\frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{4} x^6 \right)^3}$.
(2) $\dfrac{dv}{dx} = - \dfrac{12x}{\sqrt{1 + \sqrt{2} + 3x^2} \left(\sqrt{3} + 4 \sqrt{1 + \sqrt{2} + 3x^2}\right)^2}$.
(3) $\dfrac{du}{dx} = - \dfrac{x^2 \left(\sqrt{3} + x^3 \right)} {\sqrt{ \left[ 1 + \left( 1 + \dfrac{x^3}{\sqrt{3}} \right) ^2 \right]^3}} $