(b)衰减曲线

如果我们把 $p$ 取为真分数（小于 $1$）， 曲线显然会趋于向下沉，如 图 42 所示； 其中每一个后继纵坐标都是前一个高度的 $\frac{3}{4}$。

方程仍然是 \[ y=bp^x; \] 但是因为 $p$ 小于 $1$，$\log_\epsilon p$ 将是一个负量， 可以写作 $-a$；所以 $p=\epsilon^{-a}$， 现在曲线方程就采取下面的形式： \[ y=b\epsilon^{-ax}. \]

这个表达式的重要性在于，当自变量是时间时， 这个方程表示许多物理过程的进程，在这些过程中某个东西会 逐渐消退。例如，热物体的冷却过程可以用下面的方程表示 （这就是 Newton 著名的“冷却定律”）： \[ \theta_t=\theta_0 \epsilon^{-at}; \] 其中 $\theta_0$ 是热物体相对于周围环境的初始超温， $\theta_t$ 是时间 $t$ 结束时的超温，而 $a$ 是一个常数， 也就是递减常数；它取决于物体暴露出的表面积， 以及它的导热系数、辐射系数等等。

类似的公式 \[ Q_t=Q_0 \epsilon^{-at}, \] 用来表示一个带电体的电荷。它原来有电荷 $Q_0$， 并以递减常数 $a$ 漏失；在这个情形中， 这个常数取决于物体的电容量和漏电路径的电阻。

加在柔性弹簧上的振动，过一段时间后会消失； 运动振幅的消退也可以用类似的方法表示。

事实上，对于所有“减少率与正在减少的量本身成正比”的现象， $\epsilon^{-at}$ 都充当一个衰减因子；或者用我们通常的符号说， 就是在每一瞬间，$\dfrac{dy}{dt}$ 都与那一瞬间 $y$ 的值成正比。 只要看看上面的曲线 图 42， 就能看到在曲线的每一部分，斜率 $\dfrac{dy}{dx}$ 都与高度 $y$ 成正比； 随着 $y$ 变小，曲线也变得更平。用符号写就是 $y=b\epsilon^{-ax}$ 或 \[ \log_\epsilon y = \log_\epsilon b - ax \log_\epsilon \epsilon = \log_\epsilon b - ax,\\ \text{并且，求导得}\; \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = -a;\\ \text{因此}\; \frac{dy}{dx} = b\epsilon^{-ax} × (-a) = -ay; \] 换句话说，曲线的斜率向下，并与 $y$ 以及常数 $a$ 成正比。

如果把方程写成下面的形式，我们也会得到同样结果： \begin{align*} y &= bp^x; \\ \text{因为这时}\; \frac{dy}{dx} &= bp^x × \log_\epsilon p. \\ \text{但}\; \log_\epsilon p &= -a; \\ \text{于是得到}\; \frac{dy}{dx} &= y × (-a) = -ay, \end{align*} 与前面一样。

时间常数。 在“衰减因子” $\epsilon^{-at}$ 的表达式中， 量 $a$ 是另一个称为“时间常数”的量的倒数， 我们可以用符号 $T$ 表示后者。那么衰减因子可写成 $\epsilon^{-\frac{t}{T}}$；令 $t = T$ 可见， $T$ $\left(\text{或 } \dfrac{1}{a}\right)$ 的意义是： 原始量（在前面的例子中叫 $\theta_0$ 或 $Q_0$） 衰减到它原值的 $\dfrac{1}{\epsilon}$，也就是 $0.3678$，所需的时间长度。

物理学的不同分支经常需要 $\epsilon^x$ 和 $\epsilon^{-x}$ 的值， 而很少有数学用表给出它们，所以这里列出若干数值以便使用。

举一个使用这张表的例子：假设有一个热物体正在冷却， 实验开始时（即：当 $t = 0$ 时）它比周围物体高 $72°$， 并且它冷却的时间常数为 $20$ 分钟（也就是说，它的超温降到 $72°$ 的 $\dfrac{1}{\epsilon}$ 倍需要 $20$ 分钟）， 那么我们就能计算在任意给定时间 $t$ 后它会降到多少。 例如，令 $t$ 为 $60$ 分钟。于是 $\dfrac{t}{T} = 60 ÷ 20 = 3$， 我们必须求 $\epsilon^{-3}$ 的值，然后用原来的 $72°$ 乘以它。 表中给出 $\epsilon^{-3}$ 是 $0.0498$。所以在 $60$ 分钟结束时， 超温会降到 $72° × 0.0498 = 3.586°$。

更多例子。

(1) 在产生电流的电动势施加之后 $t$ 秒时， 导体中的电流强度由下面的表达式给出： $C = \dfrac{E}{R}\left\{1 - \epsilon^{-\frac{Rt}{L}}\right\}$.

时间常数为 $\dfrac{L}{R}$。

若 $E = 10$，$R =1$，$L = 0.01$；那么当 $t$ 很大时， 项 $\epsilon^{-\frac{Rt}{L}}$ 趋近于 $0$，且 $C = \dfrac{E}{R} = 10$；并且 \[ \frac{L}{R} = T = 0.01. \]

它在任意时刻的值可以写成： \[ C = 10 - 10\epsilon^{-\frac{t}{0.01}}, \] 其时间常数为 $0.01$。这意味着变量项需要 $0.01$ 秒， 才会降到它初值 $10\epsilon^{-\frac{0}{0.01}} = 10$ 的 $\dfrac{1}{\epsilon} = 0.3678$ 倍。

要求 $t = 0.001 \text{秒}$ 时的电流值， 比如说，$\dfrac{t}{T} = 0.1$，$\epsilon^{-0.1} = 0.9048$（由表得）。

由此可知，在 $0.001$ 秒后，变量项为 $0.9048 × 10 = 9.048$， 实际电流为 $10 - 9.048 = 0.952$。

同样，在 $0.1$ 秒结束时， \[ \frac{t}{T} = 10;\quad \epsilon^{-10} = 0.000045; \] 变量项为 $10 × 0.000045 = 0.00045$，电流为 $9.9995$。

(2) 一束光穿过某种透明介质厚度 $l$ 厘米之后的强度 $I$ 为 $I = I_0\epsilon^{-Kl}$，其中 $I_0$ 是这束光的初始强度， $K$ 是“吸收常数”。

这个常数通常由实验求得。比如，如果发现一束光穿过某种透明介质 $10$ 厘米后强度减少了 18%，这意味着 $82 = 100 × \epsilon^{-K×10}$，或 $\epsilon^{-10K} = 0.82$； 从表中可见 $10K = 0.20$ 非常接近；因此 $K = 0.02$。

要求使强度减半的厚度，就必须求满足等式 $50 = 100 × \epsilon^{-0.02l}$，也就是 $0.5 = \epsilon^{-0.02l}$ 的 $l$ 值。 把这个方程写成对数形式即可求得，即 \[ \log 0.5 = -0.02 × l × \log \epsilon, \] 这给出 \[ l = \frac{-0.3010}{-0.02 × 0.4343} = 34.7 \text{ 厘米，约}. \]

(3) 已知某种放射性物质中尚未发生转变的量 $Q$， 与该物质的初始量 $Q_0$ 之间有关系 $Q = Q_0 \epsilon^{-\lambda t}$，其中 $\lambda$ 是常数， $t$ 是从转变开始以来经过的秒数。

对于“镭 $A$”，如果时间用秒表示， 实验表明 $\lambda = 3.85 × 10^{-3}$。求使一半物质发生转变所需的时间。 （这个时间称为该物质的“平均寿命”。）

我们有 $0.5 = \epsilon^{-0.00385t}$。 \begin{align*} \log 0.5 &= -0.00385t × \log \epsilon; \\ \text{且}\; t &= 3\text{ 分钟，约}. \end{align*}

习题 XIII

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