怎样处理正弦和余弦

希腊字母常用来表示角，所以我们把字母 $\theta$（“theta”） 作为任意变量角的常用字母。

让我们考虑函数 \[ y= \sin \theta. \]

我们要研究的是 $\dfrac{d(\sin \theta)}{d \theta}$ 的值； 换句话说，如果角 $\theta$ 发生变化，我们就要找出正弦的增量 与角的增量之间的关系，而这两个增量本身都无限小。 看 图 43，其中若圆的半径为 $1$， $y$ 的高度就是正弦，$\theta$ 就是角。现在，假设 $\theta$ 增加一个小角 $d \theta$，也就是一个角的元素， 那么 $y$ 的高度，也就是正弦，会增加一个小元素 $dy$。 新的高度 $y + dy$ 将是新角 $\theta + d \theta$ 的正弦； 写成方程就是 \[ y+dy = \sin(\theta + d \theta); \] 从这个方程减去第一个方程，得到 \[ dy = \sin(\theta + d \theta)- \sin \theta. \]

右边的量是两个正弦之差，而三角学书会告诉我们怎样把它算出来。 它们告诉我们，如果 $M$ 和 $N$ 是两个不同的角， \[ \sin M - \sin N = 2 \cos\frac{M+N}{2}·\sin\frac{M-N}{2}. \]

于是，如果把一个角取为 $M= \theta + d \theta$， 另一个角取为 $N= \theta$，就可以写成 \begin{align*} dy &= 2 \cos\frac{\theta + d\theta + \theta}{2} · \sin\frac{\theta + d\theta - \theta}{2},\\ \text{即}\; dy &= 2\cos(\theta + \tfrac{1}{2}d\theta) · \sin\tfrac{1}{2} d\theta. \end{align*}

但是如果把 $d \theta$ 看作无限小，那么在极限中， 与 $\theta$ 相比，我们可以忽略 $\frac{1}{2} d \theta$， 也可以把 $\sin\frac{1}{2} d \theta$ 看作等同于 $\frac{1}{2} d \theta$。 于是方程变为： \begin{align*} dy &= 2 \cos \theta × \tfrac{1}{2} d \theta; \\ dy &= \cos \theta · d \theta, \\ \text{最后}\; \dfrac{dy}{d \theta} &= \cos \theta. \end{align*}

附带的曲线 图 44 和 图 45 按比例画出了对应 $\theta$ 值下的 $y=\sin \theta$ 以及 $\dfrac{dy}{d\theta}=\cos\theta$ 的值。

接着取余弦。

令 $y=\cos \theta$。

现在 $\cos \theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$。

因此 \begin{align*} &\begin{aligned} dy = d\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) × d(-\theta), \\ &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) × (-d\theta), \end{aligned} \\ &\frac{dy}{d\theta} = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right). \end{align*} 由此可得 \begin{align*} &\frac{dy}{d\theta} = -\sin \theta. \end{align*}

最后，取正切。 令 \begin{align*} y &= \tan \theta, \\ dy &= \tan(\theta + d\theta) - \tan\theta. \\ \end{align*} 按三角学书中的展开式， \begin{align*} \tan(\theta + d\theta) &= \frac{\tan\theta + \tan d\theta} {1 - \tan\theta·\tan d\theta}; \\ \text{由此}\; dy &= \frac{\tan\theta + \tan d\theta} {1-\tan\theta·\tan d\theta} - \tan\theta \\ &= \frac{(1 + \tan^2\theta)\tan d\theta} {1-\tan\theta·\tan d\theta}. \end{align*}

现在记住，如果 $d\theta$ 无限减小， $\tan d\theta$ 的值就会与 $d\theta$ 相同； 而 $\tan\theta · d\theta$ 与 $1$ 相比可忽略， 所以表达式化为 \begin{align*} dy &= \frac{(1+\tan^2 \theta)\, d\theta}{1}, \\ \text{所以}\; \frac{dy}{d\theta} &= 1 + \tan^2\theta, \\ \text{即}\; \frac{dy}{d\theta} &= \sec^2 \theta. \end{align*}

汇总这些结果，我们有：

$y$$\dfrac{dy}{d\theta}$
$\sin\theta$$\cos\theta$
$\cos\theta$$-\sin\theta$
$\tan\theta$$\sec^2\theta$

有时候，在力学和物理问题中，例如在简谐运动和波动中， 我们要处理随时间成比例增加的角。因此，如果 $T$ 是一个完整周期， 也就是绕圆一周运动所需的时间，那么由于绕圆一周的角是 $2\pi$ 弧度，或 $360°$，在时间 $t$ 内转过的角量就是 \begin{align*} \theta &= 2\pi\frac{t}{T},\quad \text{以弧度计，} \\ \text{或}\; \theta &= 360\frac{t}{T},\quad \text{以度计。} \end{align*}

如果用 $n$ 表示频率，也就是每秒的周期数， 那么 $n = \dfrac{1}{T}$，于是可以写成： \[ \theta=2\pi nt. \] 于是有 \[ y = \sin 2\pi nt. \]

现在，如果我们想知道正弦随时间怎样变化， 就必须不是关于 $\theta$，而是关于 $t$ 求导。 为此，我们必须借用第 IX 章讲过的小技巧，写成 \[ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{d\theta} · \frac{d\theta}{dt}. \]

现在 $\dfrac{d\theta}{dt}$ 显然是 $2\pi n$；所以 \begin{align*} \frac{dy}{dt} &= \cos \theta × 2\pi n \\ &= 2\pi n · \cos 2\pi nt. \\ \end{align*} 同样可得 \begin{align*} \frac{d(\cos 2\pi nt)}{dt} &= -2\pi n · \sin 2\pi nt. \end{align*}

正弦或余弦的二阶导数。

我们已经看到，$\sin \theta$ 关于 $\theta$ 求导后变成 $\cos \theta$； 而 $\cos \theta$ 关于 $\theta$ 求导后变成 $-\sin \theta$； 用符号写就是 \[ \frac{d^2(\sin \theta)}{d\theta^2} = -\sin \theta. \]

于是我们得到了一个奇妙的结果：我们找到了这样一个函数， 对它连续求导两次之后，又得到原来出发时的东西， 只是符号从 $+$ 变成了 $-$。

余弦也有同样性质；因为对 $\cos\theta$ 求导得到 $-\sin\theta$， 再对 $-\sin\theta$ 求导得到 $-\cos\theta$；也就是： \[ \frac{d^2(\cos\theta)}{d\theta^2} = -\cos\theta. \]

正弦和余弦是唯一这样的函数：它们的二阶导数等于原函数， 但符号相反。

例子 凭借目前学到的东西，我们现在可以对更复杂一些的表达式求导了。

(1) $y=\arcsin x$.

如果 $y$ 是正弦为 $x$ 的弧，那么 $x = \sin y$。 \[ \frac{dx}{dy}=\cos y. \]

现在从反函数回到原函数，得到 \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = \frac{1}{\cos y}. \\ \text{现在}\; \cos y &= \sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}; \\ \text{因此}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \end{align*} 这是个颇出人意料的结果。

(2) $y=\cos^3 \theta$.

这与 $y=(\cos \theta)^3$ 是同一回事。

令 $\cos\theta=v$；则 $y=v^3$；$\dfrac{dy}{dv}=3v^2$。 \begin{align*} \frac{dv}{d\theta} &= -\sin\theta.\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{dy}{dv} × \frac{dv}{d\theta} = -3 \cos^2 \theta \sin\theta. \end{align*}

(3) $y=\sin(x+a)$.

令 $x+a=v$；则 $y=\sin v$。 \[ \frac{dy}{dv}=\cos v;\qquad \frac{dv}{dx}=1 \quad\text{且}\quad \frac{dy}{dx}=\cos(x+a). \]

(4) $y=\log_\epsilon \sin \theta$.

令 $\sin\theta=v$；$y=\log_\epsilon v$。 \begin{align*} \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{v};\quad \frac{dv}{d\theta}=\cos\theta;\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{1}{\sin\theta} × \cos\theta = \cot\theta. \end{align*}

(5) $y=\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. \begin{align*} \frac{dy}{d\theta} &= \frac{-\sin^2\theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\\ &= -(1+\cot^2 \theta) = -\text{cosec}^2 \theta. \end{align*}

(6) $y=\tan 3\theta$.

令 $3\theta=v$；$y=\tan v$；$\dfrac{dy}{dv}=\sec^2 v$。 \[ \frac{dv}{d\theta}=3;\quad \frac{dy}{d\theta}=3 \sec^2 3\theta. \]

(7) $y = \sqrt{1+3\tan^2\theta}$; $y=(1+3 \tan^2 \theta)^{\frac{1}{2}}$.

令 $3\tan^2\theta=v$。 \begin{align*} y &= (1+v)^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{1+v}} \end{align*} （见这里）； \begin{align*} \frac{dv}{d\theta} &= 6\tan\theta \sec^2 \theta \\ \end{align*} 因为如果 $\tan \theta = u$， \begin{align*} v &= 3u^2;\quad \frac{dv}{du} = 6u;\quad \frac{du}{d\theta} = \sec^2 \theta; \\ \text{因此}\quad \frac{dv}{d\theta} &= 6 (\tan \theta \sec^2 \theta) \\ \text{因此}\quad \frac{dy}{d\theta} &= \frac{6\tan\theta \sec^2\theta}{2\sqrt{1 + 3\tan^2\theta}}. \end{align*}

(8) $y=\sin x \cos x$. \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \sin x(-\sin x) + \cos x × \cos x \\ &= \cos^2 x - \sin^2 x. \end{align*}

习题 XIV

(1) 对下列各式求导： \begin{align*} \text{(i)}\quad y &= A \sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right).\\ \text{(ii)}\quad y &= \sin^2 \theta;\quad \text{以及 } y = \sin 2\theta.\\ \text{(iii)}\quad y &= \sin^3 \theta;\quad \text{以及 } y = \sin 3\theta. \end{align*}

(2) 求使 $\sin\theta × \cos\theta$ 取得极大值的 $\theta$ 值。

(3) 对 $y=\dfrac{1}{2\pi} \cos 2\pi nt$ 求导。

(4) 若 $y = \sin a^x$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。

(5) 对 $y=\log_\epsilon \cos x$ 求导。

(6) 对 $y=18.2 \sin(x+26°)$ 求导。

(7) 画出曲线 $y=100 \sin(\theta-15°)$； 并证明曲线在 $\theta = 75°$ 处的斜率是最大斜率的一半。

(8) 若 $y=\sin \theta·\sin 2\theta$，求 $\dfrac{dy}{d\theta}$。

(9) 若 $y=a·\tan^m(\theta^n)$，求 $y$ 关于 $\theta$ 的导数。

(10) 对 $y=\epsilon^x \sin^2 x$ 求导。

(11) 对习题 XIII（这里）第 4 题中的三个方程求导， 并比较它们的导数：在 $x$ 很小、$x$ 很大， 或 $x$ 在 $x=30$ 附近时，它们是否相等，或近似相等。

(12) 对下列各式求导： \begin{align*} \text{(i)}\quad y &= \sec x. \\ \text{(ii)}\quad y &= \arccos x. \\ \text{(iii)}\quad y &= \arctan x. \\ \text{(iv)}\quad y &= \text{arcsec} x. \\ \text{(v)}\quad y &= \tan x × \sqrt{3 \sec x}. && \end{align*}

(13) 对 $y=\sin(2\theta +3)^{2.3}$ 求导。

(14) 对 $y=\theta^3+3 \sin(\theta+3)-3^{\sin \theta} - 3^\theta$ 求导。

(15) 求 $y=\theta \cos \theta$ 的极大值或极小值。

答案

(1) (i) $\dfrac{dy}{d\theta} = A \cos \left( \theta - \dfrac{\pi}{2} \right)$;

(ii) $\dfrac{dy}{d\theta} = 2\sin\theta \cos\theta = \sin2\theta$，以及 $\dfrac{dy}{d\theta} = 2\cos2\theta$；

(iii) $\dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2 \theta \cos\theta$，以及 $\dfrac{dy}{d\theta} = 3\cos3\theta$。

(2) $\theta = 45°$，或 $\dfrac{\pi}{4}$ 弧度。

(3) $\dfrac{dy}{dt} = -n \sin 2\pi nt$.

(4) $a^x \log_\epsilon a \cos a^x$.

(5) $\dfrac{\cos x}{\sin x} = \text{cotan}\; x$

(6) $18.2 \cos \left(x + 26° \right)$.

(7) 斜率为 $\dfrac{dy}{d\theta} = 100\cos\left(\theta - 15° \right)$， 当 $(\theta -15°) = 0$，即 $\theta = 15°$ 时取得极大值； 此时斜率值 ${}= 100$。当 $\theta = 75°$ 时，斜率为 $100\cos(75° - 15°) = 100\cos 60° = 100 × \frac{1}{2} = 50$.

(8) $\begin{aligned}[t] \cos\theta \sin2\theta + 2\cos2\theta \sin\theta &= 2\sin\theta\left(\cos^2 \theta + \cos2\theta\right) \\ &= 2\sin\theta\left(3\cos^2 \theta - 1\right). \end{aligned}$

(9) $amn\theta^{n-1} \tan^{m-1}\left(\theta^n\right)\sec^2 \theta^n$.

(10) $\epsilon^x \left(\sin^2 x + \sin2x\right)$;   $\epsilon^x \left(\sin^2 x + 2\sin2x + 2\cos2x\right)$.

(11) $\left(i\right) \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ab}{\left(x + b\right)^2}$;   (ii) $\dfrac{a}{b} \epsilon^{-\frac{x}{b}}$;   (iii) $\dfrac{1}{90}° × \dfrac{ab}{\left(b^2 + x^2\right)}$.

(12) (i) $\dfrac{dy}{dx} = \sec x \tan x$; (ii) $\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - x^2}}$; (iii) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ 1 + x^2}$; (iv) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{ x^2 - 1}}$; (v) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{ 3\sec x} \left(3\sec^2 x - 1\right)}{2}$.

(13) $\dfrac{dy}{d\theta} = 4.6\left(2\theta + 3\right)^{1.3} \cos\left(2\theta + 3\right)^{2.3}$.

(14) $\dfrac{dy}{d\theta} = 3\theta^2 + 3\cos \left( \theta + 3 \right) - \log_\epsilon 3 \left( \cos\theta × 3^{\sin\theta} + 3\theta \right)$.

(15) $\theta = \cot\theta; \theta = ±0.86$；$+\theta$ 时为极大值，$-\theta$ 时为极小值。

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