看两个例子。
(1) 设 $x$ 和 $y$ 分别为一个直角三角形（图 4）的底和高， 另一边与底边所成的角固定为 $30°$。如果我们假设这个三角形放大， 但角度仍保持和原来一样，那么当底增长为 $x + dx$ 时， 高就变成 $y + dy$。这里，$x$ 增加会导致 $y$ 增加。 那个小三角形的高是 $dy$，底是 $dx$，它和原三角形相似； 显然，比例 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值和比例 $\dfrac{y}{x}$ 的值相同。 因为角度是 $30°$，所以可以看出这里 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1.73}. \]
(2) 在 图 5 中，设 $x$ 表示一架固定长度的梯子 $AB$ 的底端到墙的水平距离，设 $y$ 表示梯子在墙上达到的高度。 现在 $y$ 显然依赖于 $x$。很容易看出，如果我们把底端 $A$ 从墙边再往外拉一点，顶端 $B$ 就会往下落一点。 让我们用科学语言说这件事。如果我们把 $x$ 增加到 $x + dx$， 那么 $y$ 就会变成 $y - dy$；也就是说， 当 $x$ 得到一个正增量时，由此产生的 $y$ 的增量是负的。
是的，可到底是多少呢？假设这架梯子足够长，
当底端 $A$ 离墙 $19$ 英寸时，顶端 $B$ 恰好离地 $15$ 英尺。
现在，如果你把底端再往外拉 $1$ 英寸，顶端会下降多少呢？
全部换成英寸：$x = 19$ 英寸，$y = 180$ 英寸。
现在 $x$ 的增量，也就是我们叫作 $dx$ 的那一小点，是 $1$ 英寸；
也就是 $x + dx = 20$ 英寸。
$y$ 会减小多少？新的高度是 $y - dy$。
如果用欧几里得第一卷第 47 命题算出高度，
我们就能求出 $dy$ 是多少。梯子的长度是
\[
\sqrt{ (180)^2 + (19)^2 } = 181 \text{ 英寸}.
\]
显然，新的高度，也就是 $y - dy$，满足
\begin{align*}
(y - dy)^2 &= (181)^2 - (20)^2 = 32761 - 400 = 32361, \\
y - dy &= \sqrt{32361} = 179.89 \text{ 英寸}.
\end{align*}
现在 $y$ 是 $180$，所以 $dy$ 是 $180 - 179.89 = 0.11$ 英寸。
于是我们看到，让 $dx$ 增加 $1$ 英寸，
结果是让 $dy$ 减少了 $0.11$ 英寸。
而 $dy$ 和 $dx$ 的比可以写成：
\[
\frac{dy}{dx} = - \frac{0.11}{1}.
\]
也很容易看出，除了某一个特殊位置以外，
$dy$ 的大小会和 $dx$ 不同。
在整个微分学里，我们一直在寻找、寻找、寻找一个奇妙的东西，
它只是一个比值，也就是当二者都无限小时，
$dy$ 相对于 $dx$ 的比例。
这里要注意，只有当 $y$ 和 $x$ 以某种方式相互关联，
使得 $x$ 一变化，$y$ 也确实随之变化时，
我们才能求出这个比值 $\dfrac{dy}{dx}$。
比如刚才第一个例子中，如果把三角形的底 $x$ 加长，
三角形的高 $y$ 也会变大；第二个例子中，
如果梯脚到墙的距离 $x$ 增加，梯子达到的高度 $y$
就会相应降低，一开始降低得慢，随着 $x$ 变大则越来越快。
在这些情形里，$x$ 和 $y$ 之间的关系完全确定，
可以用数学式表达，分别是 $\dfrac{y}{x} = \tan 30°$
和 $x^2 + y^2 = l^2$，其中 $l$ 是梯子的长度；
而 $\dfrac{dy}{dx}$ 就具有我们在各个例子里找到的意义。
如果 $x$ 仍像前面一样表示梯脚到墙的距离，
但 $y$ 不表示达到的高度，而表示墙的水平长度、
墙里砖块的数量，或者墙建成以来经过的年数，
那么 $x$ 的任何变化自然都不会让 $y$ 有任何变化；
在这种情况下，$\dfrac{dy}{dx}$ 毫无意义，也不可能求出它的表达式。
每当我们使用微分 $dx$、$dy$、$dz$ 等等时，
就暗含着 $x$、$y$、$z$ 等量之间存在某种关系。
这种关系称为 $x$、$y$、$z$ 等的“函数”；
例如上面给出的两个表达式，
$\dfrac{y}{x} = \tan 30°$ 和 $x^2 + y^2 = l^2$，
就是 $x$ 和 $y$ 的函数。
这样的表达式以隐含的方式，也就是没有明明白白写出来的方式，
包含了用 $y$ 表示 $x$ 或用 $x$ 表示 $y$ 的办法；
因此它们叫作 $x$ 和 $y$ 的隐函数。
它们分别可以写成
\begin{align*}
y &= x \tan 30° \quad\text{或}\quad x = \frac{y}{\tan 30°} \\
\text{并且}\;
y &= \sqrt{ l^2 - x^2} \quad\text{或}\quad x = \sqrt{ l^2 - y^2}.
\end{align*}
这些后一类表达式明确地，也就是清清楚楚地，
给出了用 $y$ 表示的 $x$ 的值，或用 $x$ 表示的 $y$ 的值；
因此它们叫作 $x$ 或 $y$ 的显函数。
例如 $x^2 + 3 = 2y - 7$ 是 $x$ 和 $y$ 的隐函数；
它可以写成 $y = \dfrac{x^2 + 10}{2}$（$x$ 的显函数），
或 $x = \sqrt{2y - 10}$（$y$ 的显函数）。
我们看到，$x$、$y$、$z$ 等的显函数，
只是一个其数值会随着 $x$、$y$、$z$ 等变化而变化的东西，
这些量可以一次变一个，也可以几个一起变。
因此，显函数的值称为因变量，
因为它依赖于函数里其他变量的值；
这些其他变量叫作自变量，
因为它们的值不是由函数所取的值决定的。
例如，如果 $u = x^2 \sin \theta$，
$x$ 和 $\theta$ 是自变量，$u$ 是因变量。
有时，几个量 $x$、$y$、$z$ 之间的精确关系并不知道，
或者不方便写出来；我们只知道，或者只方便说明，
这些变量之间存在某种关系，使得不能单独改变 $x$、$y$ 或 $z$
中的任意一个而不影响其他量。这时，$x$、$y$、$z$ 的函数存在，
可用记号 $F(x, y, z)$（隐函数）表示；
也可以用 $x = F(y, z)$、$y = F(x, z)$ 或 $z = F(x, y)$
（显函数）表示。有时也用字母 $f$ 或 $\phi$ 代替 $F$，
所以 $y = F(x)$、$y = f(x)$ 和 $y = \phi(x)$ 都表示同一件事：
$y$ 的值以某种未说明的方式依赖于 $x$ 的值。
我们把比值 $\dfrac{dy}{dx}$ 称为“$y$ 关于 $x$ 的微分系数”，
也就是导数。这是给一个非常简单的东西起的庄严科学名。
不过，既然东西本身这么容易，我们不会被庄严的名字吓住。
我们不必害怕，只要对发明这种拗口长名的愚蠢简单咒骂一句，
出了这口气之后，就继续看这个简单的东西本身，
也就是比值 $\dfrac{dy}{dx}$。
在你上学时学过的普通代数里，
你总是在寻找某个未知量，叫作 $x$ 或 $y$；
有时也要同时寻找两个未知量。现在你要学会一种新的打猎方式；
这一次要追的狐狸既不是 $x$，也不是 $y$。
你要追的是这只叫作 $\dfrac{dy}{dx}$ 的古怪小狐狸。
求出 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值的过程叫作“求导”。
不过要记住，我们要的是当 $dy$ 和 $dx$ 本身都无限小时，
这个比值的值。导数的真正值，就是在极限情形中，
把它们各自都看作无限微小时，它所趋近的那个值。
现在让我们学习怎样去寻找 $\dfrac{dy}{dx}$。
千万不要犯学生常犯的错误，以为 $dx$ 表示 $d$ 乘以 $x$。
因为 $d$ 不是一个因子，它表示后面那个东西的“一个元素”或“一小点”。
$dx$ 读作：“dee-eks”。
如果读者身边没有人指导这些读法，
这里可以简单说一下导数应该怎样读。导数
$\dfrac{dy}{dx}$
读作“dee-wy by dee-eks”，或“dee-wy over dee-eks”。 后面会遇到二阶导数。它们长这样：$\dfrac{d^2 y}{dx^2};$
读作“dee-two-wy over dee-eks-squared”，
意思是对 $y$ 关于 $x$ 的求导操作已经，或者需要，做两次。
表示一个函数已经被求导的另一种办法，
是在函数符号上加一个撇号。因此，如果 $y=F(x)$，
意思是 $y$ 是 $x$ 的某个未指明的函数（见这里），
我们可以写 $F'(x)$ 来代替 $\dfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}$。
类似地，$F''(x)$ 表示原函数 $F(x)$ 已经关于 $x$ 求导两次。
第三章附注。
怎样读微分。
同样，
$\dfrac{du}{dt}$ 读作“dee-you by dee-tee”。
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