最简单的情形

现在让我们看看，怎样从基本原理出发，对一些简单的代数表达式求导。

情形 1

我们从简单的表达式 $y=x^2$ 开始。请记住，微积分的根本想法就是增长。数学家把它叫作变化。既然 $y$ 和 $x^2$ 彼此相等，那么很明显，如果 $x$ 增长，$x^2$ 也会增长。而如果 $x^2$ 增长，$y$ 也会增长。我们必须找出的，是 $y$ 的增长和 $x$ 的增长之间的比例。换句话说，我们的任务就是找出 $dy$ 和 $dx$ 之间的比值，简言之，就是找出 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值。

那么，让 $x$ 稍微增长一点，变成 $x + dx$；同样，$y$ 也会稍微增长一点，变成 $y + dy$。显然，放大后的 $y$ 仍然等于放大后的 $x$ 的平方。写下来就是： \begin{align*} y + dy &= (x + dx)^2.\\ \text{平方展开得到：}\;\\ y + dy &= x^2 + 2x · dx+(dx)^2. \end{align*}

$(dx)^2$ 是什么意思？记住，$dx$ 表示 $x$ 的一小点。那么 $(dx)^2$ 就表示 $x$ 的一小点的一小点；也就是说，如前面（这里）解释过的，它是一个二阶小量。因此和其他项相比，它完全微不足道，可以舍去。把它省掉后，我们得到： \begin{align*} y + dy &= x^2 + 2x · dx. \\ \text{现在 } y=x^2\text{；从方程中减去它，剩下}\;\\ dy &= 2x · dx. \\ \text{两边除以 } dx\text{，得到}\;\\ \frac{dy}{dx} &= 2x. \end{align*}

现在，这* 就是我们一开始要找的东西。在眼前这个例子中， $y$ 的增长和 $x$ 的增长之比被求出为 $2x$。

*附注，这个比值 $\dfrac{dy}{dx}$ 是对 $y$ 关于 $x$ 求导的结果。求导就是求导数。假设我们有另一个 $x$ 的函数，例如 $u = 7x^2 + 3$。如果有人要求我们对它关于 $x$ 求导，我们就必须求 $\dfrac{du}{dx}$，或者说同一件事，求 $\dfrac{d(7x^2 + 3)}{dx}$。另一方面，我们也可能遇到时间是自变量的情形（见这里），比如： $y = b + \frac{1}{2} at^2$。那么，如果有人要求我们对它求导，意思就是我们必须求它关于 $t$ 的导数。所以我们要做的事就是设法求 $\dfrac{dy}{dt}$，也就是求 $\dfrac{d(b + \frac{1}{2} at^2)}{dt}$。

数值例子。

假设 $x=100$，且 $\therefore y=10,000$。然后让 $x$ 增长到 $101$ （也就是令 $dx=1$）。那么放大后的 $y$ 就是 $101 × 101 = 10,201$。但如果我们同意可以忽略二阶小量，那么与 $10,000$ 相比，$1$ 可以舍去；于是可以把放大后的 $y$ 约为 $10,200$。 $y$ 从 $10,000$ 增长到 $10,200$；添上的那一小点就是 $dy$，所以它是 $200$。

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200$。根据上一段的代数推算，我们得到 $\dfrac{dy}{dx} = 2x$。确实如此；因为 $x=100$，而 $2x=200$。

可是你会说，我们忽略了整整一个单位。

好，那就再试一次，把 $dx$ 取得更小些。

试取 $dx=\frac{1}{10}$。于是 $x+dx=100.1$，并且 \[ (x+dx)^2 = 100.1 × 100.1 = 10,020.01. \]

现在最后那个数字 $1$ 只是 $10,000$ 的百万分之一，完全可以忽略；所以我们可以取 $10,020$，不带末尾那一点小小的小数部分。于是 $dy=20$；而 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0.1} = 200$，仍然和 $2x$ 相同。

情形 2

试着用同样的方法对 $y = x^3$ 求导。

让 $y$ 增长为 $y+dy$，同时让 $x$ 增长为 $x+dx$。

于是得到 \[ y + dy = (x + dx)^3. \]

展开立方，得到 \[ y + dy = x^3 + 3x^2 · dx + 3x(dx)^2+(dx)^3. \]

现在我们知道，可以忽略二阶和三阶小量；因为当 $dy$ 和 $dx$ 都变得无限小时， $(dx)^2$ 和 $(dx)^3$ 相比之下会变得无限更小。因此，把它们看作可忽略后，剩下： \[ y + dy=x^3+3x^2 · dx. \]

但 $y=x^3$；减去这一项，得到： \begin{align*} dy &= 3x^2 · dx, \\ \text{并且}\; \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align*}

情形 3

试着对 $y=x^4$ 求导。仍像前面一样，先让 $y$ 和 $x$ 都增长一点，得到： \begin{align*} y + dy &= (x+dx)^4. \\ \end{align*} 展开四次方，得到 \begin{align*} y + dy &= x^4 + 4x^3\, dx + 6x^2(dx)^2 + 4x(dx)^3+(dx)^4. \\ \end{align*} 把所有含有 $dx$ 高次幂的项划掉，因为相比之下它们可以忽略，于是得到 \begin{align*} y + dy &= x^4+4x^3\, dx. \\ \end{align*} 减去原来的 $y=x^4$，剩下 \begin{align*} dy &= 4x^3\, dx, \\ \text{并且}\; \frac{dy}{dx} &= 4x^3. \end{align*}

现在这些情形都相当容易。把结果汇总起来，看看能不能推出某条一般规则。把它们列成两栏，一栏放 $y$ 的值，另一栏放对应求得的 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值：如下

$y$	$\frac{dy}{dx}$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^4$	$4x^3$

看看这些结果：求导这个操作似乎把 $x$ 的幂降低了 $1$，例如最后一个情形中把 $x^4$ 降成 $x^3$；同时还乘上了一个数，这个数其实正是原来的幂。一旦看出这一点，你很容易猜到其他情形会怎样。你会预期，对 $x^5$ 求导会得到 $5x^4$，对 $x^6$ 求导会得到 $6x^5$。如果你犹豫，就试一个看看这个猜想是否正确。

试取 $y = x^5$。 \begin{align*} \text{于是}\; y+dy &= (x+dx)^5 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 10x^3(dx)^2 + 10x^2(dx)^3 \\ &\phantom{{}= x^5 + 5x^4\, dx} + 5x(dx)^4 + (dx)^5. \end{align*}

忽略所有含有高阶小量的项，剩下 \begin{align*} y + dy &= x^5 + 5x^4\, dx, \\ \text{再减去}\; y &= x^5 \text{，剩下} \\ dy &= 5x^4\, dx, \\ \text{因此}\; \frac{dy}{dx} &= 5x^4, \text{，正如我们所料。} \end{align*}

顺着我们的观察合乎逻辑地推下去，如果要处理任何更高的幂，把它叫作 $n$，我们也可以用同样的方法来办。

令 $y = x^n,$

那么，我们预期会得到

$\frac{dy}{dx} = nx^{(n-1)}$.

例如，令 $n=8$，那么 $y=x^8$；对它求导会得到 $\dfrac{dy}{dx} = 8x^7$。

事实上，对 $x^n$ 求导得到 $nx^{n-1}$ 这条规则，在 $n$ 是正整数的所有情形中都成立。 [用二项式定理展开 $(x + dx)^n$，马上就能看出这一点。] 但是，当 $n$ 为负数或分数时，这条规则是否成立，还需要进一步考虑。

负幂的情形。

令 $y = x^{-2}$。然后照前面那样进行： \begin{align*} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align*} 用二项式定理展开它（见这里），得到 \begin{align*} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1×2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \text{等等}\right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} · dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \text{等等} \\ \end{align*} 所以，忽略更高阶的小量，得到： \begin{align*} y + dy &= x^{-2} - 2x^{-3} · dx. \end{align*} 减去原来的 $y = x^{-2}$，得到 \begin{align*} dy &= -2x^{-3}dx, \\ \frac{dy}{dx} &= -2x^{-3}. \end{align*} 这仍然符合上面推出的规则。

分数幂的情形。

令 $y= x^{\frac{1}{2}}$。那么，和前面一样， \begin{align*} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{dx}{x} )^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} + \text{含有 } dx \text{ 的更高次幂的项。} \end{align*}

减去原来的 $y = x^{\frac{1}{2}}$，并忽略高次幂，剩下： \[ dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} · dx, \] 并且 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$。这与一般规则一致。

小结。 看看我们已经走到了哪里。我们得到了下面这条规则：要对 $x^n$ 求导，就乘以幂指数，并把幂指数减一，于是结果为 $nx^{n-1}$。