论真正的复利与有机增长法则

$\epsilon$ 与 $1$ 不可公度，而且像 $\pi$ 一样， 是一个无穷不循环小数。

指数级数。 我们还需要另一个级数。

让我们再次利用二项式定理，展开表达式 $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{nx}$；当我们使 $n$ 无限大时， 它就等于 $\epsilon^x$。 \begin{align*} \epsilon^x &= 1^{nx} + nx \frac{1^{nx-1} \left(\dfrac{1}{n}\right)}{1!} + nx(nx - 1) \frac{1^{nx - 2} \left(\dfrac{1}{n}\right)^2}{2!} \\ & \phantom{= 1^{nx}\ } + nx(nx - 1)(nx - 2) \frac{1^{nx-3} \left(\dfrac{1}{n}\right)^3}{3!} + \text{等等}.\\ &= 1 + x + \frac{1}{2!} · \frac{n^2x^2 - nx}{n^2} + \frac{1}{3!} · \frac{n^3x^3 - 3n^2x^2 + 2nx}{n^3} + \text{等等}. \\ &= 1 + x + \frac{x^2 -\dfrac{x}{n}}{2!} + \frac{x^3 - \dfrac{3x^2}{n} + \dfrac{2x}{n^2}}{3!} + \text{等等}. \end{align*}

但是，当 $n$ 变得无限大时，它就化简为下面这样： \[ \epsilon^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \text{等等}\dots \]

这个级数叫作指数级数。

对于图 39：

可以看出，虽然计算给出了不同的描点， 结果却是同一条曲线。这两个方程实际表示的是同一件事。

许多使用普通对数的人，只熟悉以 $10$ 为底而不是以 $\epsilon$ 为底的对数， 不熟悉“自然”对数；所以值得对它们说几句话。 通常那条“对数相加等于乘积的对数”的规则依然成立；即 \[ \log_\epsilon a + \log_\epsilon b = \log_\epsilon ab. \] 幂的规则也依然成立： \[ n × \log_\epsilon a = \log_\epsilon a^n. \] 但是因为 $10$ 不再是底数，不能仅仅给指标加上 $2$ 或 $3$ 就表示乘以 $100$ 或 $1000$。要把自然对数变成普通对数， 只要把它乘以 $0.4343$；也就是 \begin{align*} \log_{10} x &= 0.4343 × \log_{\epsilon} x, \\ \text{反过来，}\; \log_{\epsilon} x &= 2.3026 × \log_{10} x. \end{align*}

一张有用的“纳皮尔对数”表

（也叫自然对数或双曲对数）

指数方程与对数方程。

先乘以模数 $0.4343$，把它变成自然对数。这给出 \begin{align*} y &= 0.4343 \log_\epsilon x; \\ \text{由此}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{0.4343}{x}. \end{align*}

现在让我们再试几个例子。

例子 (1) $y=\epsilon^{-ax}$。令 $-ax=z$；则 $y=\epsilon^z$。 \[ \frac{dy}{dz} = \epsilon^z;\quad \frac{dz}{dx} = -a;\quad\text{因此}\quad \frac{dy}{dx} = -a\epsilon^{-ax}. \]

或者这样： \[ \log_\epsilon y = -ax;\quad \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = -a;\quad \frac{dy}{dx} = -ay = -a\epsilon^{-ax}. \]

(2) $y=\epsilon^{\frac{x^2}{3}}$。令 $\dfrac{x^2}{3}=z$；则 $y=\epsilon^z$。 \[ \frac{dy}{dz} = \epsilon^z;\quad \frac{dz}{dx} = \frac{2x}{3};\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}\, \epsilon^{\frac{x^2}{3}}. \]

或者这样： \[ \log_\epsilon y = \frac{x^2}{3};\quad \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3};\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}\, \epsilon^{\frac{x^2}{3}}. \]

(3) $y = \epsilon^{\frac{2x}{x+1}}$. \begin{align*} \log_\epsilon y &= \frac{2x}{x+1},\quad \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2}; \\ \text{因此}\quad \frac{dy}{dx} &= \frac{2}{(x+1)^2} \epsilon^{\frac{2x}{x+1}}. \end{align*}

可令 $\dfrac{2x}{x+1}=z$ 来检验。

(4) $y=\epsilon^{\sqrt{x^2+a}}$. $\log_\epsilon y=(x^2+a)^{\frac{1}{2}}$. \[ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{x}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}\quad\text{且}\quad \frac{dy}{dx} = \frac{x × \epsilon^{\sqrt{x^2+a}}}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}. \] 因为如果 $(x^2+a)^{\frac{1}{2}}=u$ 且 $x^2+a=v$，则 $u=v^{\frac{1}{2}}$， \[ \frac{du}{dv} = \frac{1}{{2v}^{\frac{1}{2}}};\quad \frac{dv}{dx} = 2x;\quad \frac{du}{dx} = \frac{x}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}. \]

可令 $\sqrt{x^2+a}=z$ 来检验。

(5) $y=\log(a+x^3)$。令 $(a+x^3)=z$；则 $y=\log_\epsilon z$。 \[ \frac{dy}{dz} = \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 3x^2;\quad\text{因此}\quad \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{a+x^3}. \]

(6) $y=\log_\epsilon\{{3x^2+\sqrt{a+x^2}}\}$。令 $3x^2 + \sqrt{a+x^2}=z$； 则 $y=\log_\epsilon z$。 \begin{align*} \frac{dy}{dz} &= \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 6x + \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{6x + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{3x^2 + \sqrt{a+x^2}} = \frac{x(1 + 6\sqrt{x^2+a})}{(3x^2 + \sqrt{x^2+a}) \sqrt{x^2+a}}. \end{align*}

(7) $y=(x+3)^2 \sqrt{x-2}$. \begin{align*} \log_\epsilon y &= 2 \log_\epsilon(x+3)+ \tfrac{1}{2} \log_\epsilon(x-2). \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{2}{(x+3)} + \frac{1}{2(x-2)}; \\ \frac{dy}{dx} &= (x+3)^2 \sqrt{x-2} \left\{\frac{2}{x+3} + \frac{1}{2(x-2)}\right\}. \end{align*}

(8) $y=(x^2+3)^3(x^3-2)^{\frac{2}{3}}$. \begin{align*} \log_\epsilon y &= 3 \log_\epsilon(x^2+3) + \tfrac{2}{3} \log_\epsilon(x^3-2); \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= 3 \frac{2x}{(x^2+3)} + \frac{2}{3} \frac{3x^2}{x^3-2} = \frac{6x}{x^2+3} + \frac{2x^2}{x^3-2}. \end{align*} 因为如果 $y=\log_\epsilon(x^2+3)$，令 $x^2+3=z$ 且 $u=\log_\epsilon z$。 \[ \frac{du}{dz} = \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 2x;\quad \frac{du}{dx} = \frac{2x}{x^2+3}. \] 同样，如果 $v=\log_\epsilon(x^3-2)$，则 $\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{3x^2}{x^3-2}$，并且 \[ \frac{dy}{dx} = (x^2+3)^3(x^3-2)^{\frac{2}{3}} \left\{ \frac{6x}{x^2+3} + \frac{2x^2}{x^3-2} \right\}. \]

(9) $y=\dfrac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}}$. \begin{align*} \log_\epsilon y &= \frac{1}{2} \log_\epsilon(x^2+a) - \frac{1}{3} \log_\epsilon(x^3-a). \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{2}\, \frac{2x}{x^2+a} - \frac{1}{3}\, \frac{3x^2}{x^3-a} = \frac{x}{x^2+a} - \frac{x^2}{x^3-a} \\ \text{且}\quad \frac{dy}{dx} &= \frac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}} \left\{ \frac{x}{x^2+a} - \frac{x^2}{x^3-a} \right\}. \end{align*}

(10) $y=\dfrac{1}{\log_\epsilon x}$ \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\log_\epsilon x × 0 - 1 × \dfrac{1}{x}} {\log_\epsilon^2 x} = -\frac{1}{x \log_\epsilon^2x}. \]

(11) $y=\sqrt[3]{\log_\epsilon x} = (\log_\epsilon x)^{\frac{1}{3}}$。令 $z=\log_\epsilon x$；$y=z^{\frac{1}{3}}$。 \[ \frac{dy}{dz} = \frac{1}{3} z^{-\frac{2}{3}};\quad \frac{dz}{dx} = \frac{1}{x};\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x \sqrt[3]{\log_\epsilon^2 x}}. \]

(12) $y=\left(\dfrac{1}{a^x}\right)^{ax}$. \begin{align*} \log y &= -ax \log a^{x} = -ax^{2} \cdot \log a.\\ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &= -2ax \cdot \log a\\ \frac{dy}{dx} &= -2ax\left(\frac{1}{a^{x}}\right)^{ax} \cdot \log a = -2x a^{1-ax^{2}} \cdot \log a. \end{align*}

现在试做下面的习题。

习题 XII

(1) 对 $y=b(\epsilon^{ax} -\epsilon^{-ax})$ 求导。

(2) 求表达式 $u=at^2+2\log_\epsilon t$ 关于 $t$ 的导数。

(3) 若 $y=n^t$，求 $\dfrac{d(\log_\epsilon y)}{dt}$。

(4) 证明若 $y=\dfrac{1}{b}·\dfrac{a^{bx}}{\log_\epsilon a}$，   则 $\dfrac{dy}{dx}=a^{bx}$。

(5) 若 $w=pv^n$，求 $\dfrac{dw}{dv}$。

对下列各式求导：

(6) $y=\log_\epsilon x^n$.

(7) $y=3\epsilon^{-\frac{x}{x-1}}$.

(8) $y=(3x^2+1)\epsilon^{-5x}$.

(9) $y=\log_\epsilon(x^a+a)$.

(10) $y=(3x^2-1)(\sqrt{x}+1)$.

(11) $y=\dfrac{\log_\epsilon(x+3)}{x+3}$.

(12) $y=a^x × x^a$.

(13) Kelvin 勋爵证明，海底电缆的信号传输速度取决于 芯线外径与包在其中的铜线直径之比的数值。 如果把这个比值叫作 $y$，那么每分钟可发送的信号数 $s$ 可用下面的公式表示： \[ s=ay^2 \log_\epsilon \frac{1}{y}; \] 其中 $a$ 是一个常数，取决于长度和材料质量。 证明在这些给定时，若 $y=1 ÷ \sqrt{\epsilon}$，则 $s$ 取得极大值。

(14) 求下面函数的极大值或极小值： \[ y=x^3-\log_\epsilon x. \]

(15) 对 $y=\log_\epsilon(ax\epsilon^x)$ 求导。

(16) 对 $y=(\log_\epsilon ax)^3$ 求导。

答案

(1) $ab(\epsilon^{ax} + \epsilon^{-ax})$.

(2) $2at + \dfrac{2}{t}$.

(3) $\log_\epsilon n$.

(5) $npv^{n-1}$.

(6) $\dfrac{n}{x}$.

(7) $\dfrac{3\epsilon^{- \frac{x}{x-1}}}{(x - 1)^2}$.

(8) $6x \epsilon^{-5x} - 5(3x^2 + 1)\epsilon^{-5x}$.

(9) $\dfrac{ax^{a-1}}{x^a + a}$.

(10) $\left(\dfrac{6x}{3x^2-1} + \dfrac{1}{2\left(\sqrt x + x\right)}\right) \left(3x^2-1\right)\left(\sqrt x + 1\right)$.

(11) $\dfrac{1 - \log_\epsilon \left(x + 3\right)}{\left(x + 3\right)^2}$.

(12) $a^x\left(ax^{a-1} + x^a \log_\epsilon a\right)$.

(14) 极小值：当 $x = 0.694$ 时，$y = 0.7$。

(15) $\dfrac{1 + x}{x}$.

(16) $\dfrac{3}{x} (\log_\epsilon ax)^2$.

对数曲线。

让我们回到那条相继纵坐标成几何级数的曲线， 例如由方程 $y=bp^x$ 表示的那一条。

令 $x=0$，可以看出 $b$ 是 $y$ 的初始高度。

那么当 \[ x=1,\quad y=bp;\qquad x=2,\quad y=bp^2;\qquad x=3,\quad y=bp^3,\quad \text{等等}. \]