求导这个过程，是在已知 $y$（作为 $x$ 的函数）时， 求出 $\dfrac{dy}{dx}$。
和其他数学运算一样，求导的过程也可以反过来；比如， 如果对 $y = x^4$ 求导得到 $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$， 那么从 $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$ 出发，反过来做，就可以说会得到 $y = x^4$。可是这里有一个有趣的地方。如果我们一开始取的是 下面任何一个式子：$x^4$，或 $x^4 + a$，或 $x^4 + c$， 或者 $x^4$ 加上任意常数，都会得到 $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$。所以很清楚，从 $\dfrac{dy}{dx}$ 反推 $y$ 时，必须预留一个可能加上的常数；这个常数的值， 在用别的办法确定之前，是未知的。因此，如果对 $x^n$ 求导得到 $nx^{n-1}$，那么从 $\dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1}$ 反推回去， 会得到 $y = x^n + C$；这里 $C$ 表示那个尚未确定的可能常数。
显然，在处理 $x$ 的幂时，反向操作的规则就是：把指数加 $1$， 再除以这个增大后的指数，然后加上不确定的常数。
所以，在 \[ \frac{dy}{dx} = x^n, \] 这种情况下，反推可得 \[ y = \frac{1}{n + 1} x^{n+1} + C. \]
如果对方程 $y = ax^n$ 求导得到 \[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}, \] 那么按常识，从 \[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}, \] 出发并反过来做，会得到 \[ y = ax^n. \] 所以，当我们处理一个乘在前面的常数时，只需要把这个常数 作为积分结果的乘子放在那里。
因此，如果 $\dfrac{dy}{dx} = 4x^2$，反向过程给出 $y = \frac{4}{3}x^3$.
但这还不完整。因为我们必须记得，如果一开始是 \[ y = ax^n + C, \] 其中 $C$ 是任意常量，我们同样会得到 \[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}. \]
所以，当我们反过来做时，一定要记得加上这个不确定常数， 即使我们还不知道它的值究竟是多少。
这个求导的反向过程叫作积分；因为它做的事情是： 在只给出 $dy$ 或 $\dfrac{dy}{dx}$ 的表达式时，求出整个量 $y$。 到目前为止，我们一直尽量把 $dy$ 和 $dx$ 合在一起， 作为一个导数来看；从现在起，我们会更常把它们分开。
从一个简单例子开始， \[ \frac{dy}{dx} = x^2. \]
如果愿意，也可以把它写成 \[ dy = x^2\, dx. \]
这就是一个“微分方程”，它告诉我们：$y$ 的一个元素 等于 $x$ 的相应元素乘以 $x^2$。现在，我们要找的是积分； 因此，用恰当的符号把“两边都积分”的指令写下来： \[ \int dy = \int x^2\, dx. \]
[关于积分式的读法：上面的式子可以这样读： “$dy$ 的积分 等于 $x^2\, dx$ 的积分。”]
我们还没有真正积分：只是写下了积分的指令，如果能做的话。 来试试看吧。许多别的笨人都能做，为什么我们不行？ 左边简单极了。所有 $y$ 的小片段加起来，就是 $y$ 本身。 所以我们可以立刻写成： \[ y = \int x^2\, dx. \]
但到了方程右边，我们必须记得，需要加起来的不是所有 $dx$，而是所有像 $x^2\, dx$ 这样的项；这和 $x^2 \int dx$ 并不相同，因为 $x^2$ 不是常数。 有些 $dx$ 会乘上较大的 $x^2$ 值，有些会乘上较小的 $x^2$ 值，这取决于当时的 $x$ 是多少。因此，我们得想起： 积分这个过程是求导的反过程。现在，处理 $x^n$ 时， 这个反向过程的规则是“把指数加一，再除以这个增加后的指数” ，见前面所述。 也就是说，$x^2\, dx$ 将变成 * $\frac{1}{3} x^3$。把它代回方程；不过别忘了在末尾加上 “积分常数” $C$。于是得到： \[ y = \tfrac{1}{3} x^3 + C. \]
你已经真正完成了一次积分。多容易！
再试一个简单例子。
\begin{align*} \text{设 } \dfrac{dy}{dx} &= ax^{12}, \end{align*} 其中 $a$ 是任意常数乘子。我们在求导时已经发现 （见这里），$y$ 的值中任何常数因子都会原封不动地 重新出现在 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值中。因此，在积分这个反向过程中， 它也会重新出现在 $y$ 的值中。所以可以像前面一样动手： \begin{align*} dy &= ax^{12} · dx,\\ \int dy &= \int ax^{12} · dx,\\ \int dy &= a \int x^{12}\, dx,\\ y &= a × \tfrac{1}{13} x^{13} + C. \end{align*}
这样就完成了。多容易！
现在我们开始明白了：和求导相比，积分就是一个 找路回去的过程。只要我们曾经在求导时得到过某个特定表达式， 比如本例中的 $ax^{12}$，就能沿路找回产生它的那个 $y$。 一位著名教师曾用下面这个说法来说明两种过程的差别： 如果把一个陌生人丢在特拉法加广场，让他自己去找 尤斯顿车站，他也许会觉得毫无办法。可是，如果之前有人 亲自带他从尤斯顿车站走到特拉法加广场， 那他再从特拉法加广场找路回尤斯顿车站， 就会相当容易。
\begin{align*} \mbox{设 } \frac{dy}{dx} &= x^2 + x^3, \\ \mbox{则 } dy &= x^2\, dx + x^3\, dx. \end{align*}
没有理由不把每一项分别积分：因为从这里可以看到， 我们已经发现，对两个独立函数的和求导时，导数就是这两个函数 各自求导结果的和。所以当我们反过来积分时，积分也只是两个 单独积分的和。
于是我们的指令就是： \begin{align*} \int dy &= \int (x^2 + x^3)\, dx \\ &= \int x^2\, dx + \int x^3\, dx \\ y &= \tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{1}{4} x^4 + C. \end{align*}
如果某一项是负量，积分中对应的那一项也会是负的。 所以，处理差和处理和一样容易。
假设待积分的表达式中有一个常数项，比如： \[ \frac{dy}{dx} = x^n + b. \]
这简单得可笑。你只要记得，对表达式 $y = ax$ 求导时， 结果是 $\dfrac{dy}{dx} = a$。因此，当你反过来积分时， 这个常数会乘上 $x$ 再出现。所以得到 \begin{align*} dy &= x^n\, dx + b · dx, \\ \int dy &= \int x^n\, dx + \int b\, dx, \\ y &= \frac{1}{n+1} x^{n+1} + bx + C. \end{align*}
下面有一批例子，可以让你试试刚学到的本领。
例题
(1) 已知 $\dfrac{dy}{dx} = 24x^{11}$。求 $y$。
答：$y = 2x^{12} + C$。
(2) 求 $\int (a + b)(x + 1)\, dx$。
它等于 $(a + b) \int (x + 1)\, dx$， 也就是 $(a + b) \left[\int x\, dx + \int dx\right]$，或 $(a + b) \left(\dfrac{x^2}{2} + x\right) + C$。
(3) 已知 $\dfrac{du}{dt} = gt^{\frac{1}{2}}$。求 $u$。
答：$u = \frac{2}{3} gt^{\frac{3}{2}} + C$。
(4) $\dfrac{dy}{dx} = x^3 - x^2 + x$。求 $y$。 \begin{align*} dy &= (x^3 - x^2 + x)\, dx\quad\text{或} \\ dy &= x^3\, dx - x^2\, dx + x\, dx;\quad y = \int x^3\, dx - \int x^2\, dx + \int x\, dx; \end{align*} 并且 \begin{align*} y &= \tfrac{1}{4} x^4 - \tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{1}{2} x^2 + C. \end{align*}
(5) 积分 $9.75x^{2.25}\, dx$。
答：$y = 3x^{3.25} + C$。
这些都够容易。再试另一个情形。
\begin{align*} \text{设 } \dfrac{dy}{dx} &= ax^{-1}. \end{align*}
照前面那样做，我们写成 \[ dy = a x^{-1} · dx,\quad \int dy = a \int x^{-1}\, dx. \]
可是，$x^{-1}\, dx$ 的积分是什么呢？
如果你回头看看 $x^2$、$x^3$、$x^n$ 等等的求导结果， 会发现我们从来没有从其中任何一个得到过 $x^{-1}$ 作为 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值。由 $x^3$ 得到的是 $3x^2$； 由 $x^2$ 得到的是 $2x$；由 $x^1$（也就是 $x$ 本身）得到的是 $1$； 但是我们没有从 $x^0$ 得到 $x^{-1}$，原因有两个很充分。 第一，$x^0$ 只是 $= 1$，是一个常数，不可能有导数。 第二，即使它能被求导，死套通常规则得到的导数也会是 $0 × x^{-1}$，而乘以零就使它的值变成零！因此，当我们现在 尝试积分 $x^{-1}\, dx$ 时，会发现它并不属于规则所给出的 $x$ 的幂中的任何一种： \[ \int x^n\, dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1}. \] 这是一个例外。
好吧，不过再试一次。把各种 $x$ 的函数所得到的微分都翻一遍， 看看能不能在里面找到 $x^{-1}$。只要找得够仔细，就会发现： 我们确实曾经把函数 $y = \log_\epsilon x$ 求导， 得到过 $\dfrac{dy}{dx} = x^{-1}$（见这里）。
于是当然，既然我们知道对 $\log_\epsilon x$ 求导得到 $x^{-1}$， 那么把这个过程反过来，积分 $dy = x^{-1}\, dx$ 就会得到 $y = \log_\epsilon x$。但不能忘记题中给出的常数因子 $a$， 也不能漏掉不确定的积分常数。所以本题的解为 \[ y = a \log_\epsilon x + C. \]
注意：这里要注意一个很值得注意的事实：如果我们碰巧 不知道相应的求导结果，上面的情形就没法积分。 如果没有人发现对 $\log_\epsilon x$ 求导会得到 $x^{-1}$， 我们在“怎样积分 $x^{-1}\, dx$”这个问题上就会彻底卡住。 确实应该坦率承认，这是积分学一个有趣的特点：在某个别的东西 经过求导这个反过程、产生出你想积分的表达式之前， 你就没法积分它。即使到今天，也没有人能求出这个表达式的 一般积分： \[ \frac{dy}{dx} = a^{-x^2}, \] 因为还从来没有发现 $a^{-x^2}$ 是对某个别的东西求导所得的结果。
另一个简单情形。
求 $\int (x + 1)(x + 2)\, dx$。
看一看要积分的函数，你会注意到它是两个不同的 $x$ 的函数的乘积。 你也许会想，$(x + 1)\, dx$ 可以单独积分，$(x + 2)\, dx$ 也可以单独积分。当然可以。可是乘积该怎么办？你学过的求导中， 还没有哪一种能给出这样一个乘积作为导数。既然没有， 最简单的办法就是先把这两个函数乘开，然后再积分。于是得到 \[ \int (x^2 + 3x + 2)\, dx. \] 这和下面一样： \[ \int x^2\, dx + \int 3x\, dx + \int 2\, dx. \] 进行积分，得到 \[ \tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{3}{2} x^2 + 2x + C. \]
既然已经知道积分是求导的反过程，我们就可以马上查一查 已经知道的导数，看看它们是从哪些函数来的。这样就得到下面 这些现成的积分： \begin{alignat*}{4} &x^{-1} &&\qquad && \int x^{-1}\, dx &&= \log_\epsilon x + C. \\ %\label{intex2} &\frac{1}{x+a} && && \int \frac{1}{x+a}\, dx &&= \log_\epsilon (x+a) + C. \\ &\epsilon^x && && \int \epsilon^x\, dx &&= \epsilon ^x + C. \\ &\epsilon^{-x} &&&& \int \epsilon^{-x}\, dx &&= -\epsilon^{-x} + C \\ \end{alignat*} （因为若 $y = - \dfrac{1}{\epsilon^x}$，则 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\epsilon^x × 0 - 1 × \epsilon^x}{\epsilon^{2x}} = \epsilon^{-x}$）。 \begin{alignat*}{4} &\sin x && && \int \sin x\, dx &&= -\cos x + C. \\ &\cos x && && \int \cos x\, dx &&= \sin x + C. \\ \end{alignat*} 另外还可以推出下面这些： \begin{alignat*}{4} &\log_\epsilon x; &&&& \int\log_\epsilon x\, dx &&= x(\log_\epsilon x - 1) + C \\ \end{alignat*} （因为若 $y = x \log_\epsilon x - x$，则 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{x} + \log_\epsilon x - 1 = \log_\epsilon x$）。 \begin{alignat*}{4} &\log_{10} x; &&&& \int\log_{10} x\, dx &&= 0.4343x (\log_\epsilon x - 1) + C. \\ &a^x && && \int a^x\, dx &&= \dfrac{a^x}{\log_\epsilon a} + C. \\ % \label{cosax} &\cos ax; &&&& \int\cos ax\, dx &&= \frac{1}{a} \sin ax + C \\ \end{alignat*} （因为若 $y = \sin ax$，则 $\dfrac{dy}{dx} = a \cos ax$；所以要得到 $\cos ax$， 就必须对 $y = \dfrac{1}{a} \sin ax$ 求导）。 \begin{alignat*}{4} &\sin ax; &&&& \int\sin ax\, dx &&= -\frac{1}{a} \cos ax + C. \\ \end{alignat*}
也试试 $\cos^2\theta$；一个小诀窍会让事情简单些： \[ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2 \theta - 1; \\ \] 因此 \[ \cos^2\theta = \tfrac{1}{2}(\cos 2\theta + 1), \] 并且 \begin{align*} \int\cos^2 \theta\, d\theta &= \tfrac{1}{2} \int (\cos 2\theta + 1)\, d\theta \\ &= \tfrac{1}{2} \int \cos 2 \theta\, d\theta + \tfrac{1}{2} \int d\theta. \\ &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C. \end{align*}
（另见这里）
还可参看标准形式表。 你应该给自己做一张这样的表，只把那些你已经成功求导和积分过的 一般函数放进去。要让这张表稳稳地长大！
在很多情况下，需要对含有两个或更多变量的某个表达式积分； 这时积分号会出现不止一次。例如， \[ \iint f(x,y,)\, dx\, dy \] 表示变量 $x$ 和 $y$ 的某个函数要分别对它们积分。 先对哪个变量积分并不重要。例如取函数 $x^2 + y^2$。 对 $x$ 积分，得到： \[ \int (x^2+y^2)\, dx = \tfrac{1}{3} x^3 + xy^2. \]
现在，再对 $y$ 积分： \[ \int (\tfrac{1}{3} x^3 + xy^2)\, dy = \tfrac{1}{3} x^3y + \tfrac{1}{3} xy^3, \] 当然还要加上一个常数。如果我们把操作顺序反过来，结果也会相同。
在处理曲面面积和立体时，我们常常要同时沿长度和宽度积分， 于是会有这样的积分形式： \[ \iint u · dx\, dy, \] 其中 $u$ 是在每一点上依赖于 $x$ 和 $y$ 的某种性质。 这就叫作曲面积分。它表示所有像 $u · dx · dy$ 这样的元素 （也就是长为 $dx$、宽为 $dy$ 的小矩形上的 $u$ 的值） 都要沿整个长度和整个宽度加总起来。
立体的情形也类似，不过我们处理的是三维。考虑任意一个体积元素， 也就是尺寸为 $dx$、$dy$、$dz$ 的小立方体。如果这个立体的形状 由函数 $f(x, y, z)$ 表示，那么整个立体就有一个体积分： \[ \text{体积} = \iiint f(x,y,z) · dx · dy · dz. \] 自然，这类积分必须在每个维度上取适当的限 （关于定限积分，见这里）；并且，除非知道曲面的边界 怎样依赖于 $x$、$y$ 和 $z$，否则无法进行积分。 如果 $x$ 的限从 $x_1$ 到 $x_2$，$y$ 的限从 $y_1$ 到 $y_2$， $z$ 的限从 $z_1$ 到 $z_2$，那么显然有 \[ \text{体积} = \int_{z1}^{z2} \int_{y1}^{y2} \int_{x1}^{x2} f(x,y,z) · dx · dy · dz. \]
当然，复杂而困难的情形多得很；不过一般说来，当这些符号 意在表示某个积分要在给定曲面上，或在给定立体空间中完成时， 其含义还是很容易看出来的。
(2) 求 $\int \frac{3}{x^4}\, dx$。
(3) 求 $\int \frac{1}{a} x^3\, dx$。
(4) 求 $\int (x^2 + a)\, dx$。
(5) 积分 $5x^{-\frac{7}{2}}$。
(6) 求 $\int (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1)\, dx$。
(7) 如果 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ax}{2} + \dfrac{bx^2}{3} + \dfrac{cx^3}{4}$，求 $y$。
(8) 求 $\int \left(\frac{x^2 + a}{x + a}\right) dx$。
(9) 求 $\int (x + 3)^3\, dx$。
(10) 求 $\int (x + 2)(x - a)\, dx$。
(11) 求 $\int (\sqrt x + \sqrt[3] x) 3a^2\, dx$。
(12) 求 $\int (\sin \theta - \tfrac{1}{2})\, \frac{d\theta}{3}$。
(13) 求 $\int \cos^2 a \theta\, d\theta$。
(14) 求 $\int \sin^2 \theta\, d\theta$。
(15) 求 $\int \sin^2 a \theta\, d\theta$。
(16) 求 $\int \epsilon^{3x}\, dx$。
(17) 求 $\int \dfrac{dx}{1 + x}$。
(18) 求 $\int \dfrac{dx}{1 - x}$。
(1) $\dfrac{4\sqrt{a} x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$.
(2) $-\dfrac{1}{x^3} + C$.
(3) $\dfrac{x^4}{4a} + C$.
(4) $\tfrac{1}{3} x^3 + ax + C$.
(5) $-2x^{-\frac{5}{2}} + C$.
(6) $x^4 + x^3 + x^2 + x + C$.
(7) $\dfrac{ax^2}{4} + \dfrac{bx^3}{9} + \dfrac{cx^4}{16} + C$.
(8) 用除法得 $\dfrac{x^2 + a}{x + a} = x - a + \dfrac{a^2 + a}{x + a}$。所以答案 是 $\dfrac{x^2}{2} - ax + (a^2 + a)\log_\epsilon (x + a) + C$。 （见这里和这里。）
(9) $\dfrac{x^4}{4} + 3x^3 + \dfrac{27}{2} x^2 + 27x + C$.
(10) $\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2 - a}{2} x^2 - 2ax + C$.
(11) $a^2(2x^{\frac{3}{2}} + \tfrac{9}{4} x^{\frac{4}{3}}) + C$.
(12) $-\tfrac{1}{3} \cos\theta - \tfrac{1}{6} \theta + C$.
(13) $\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin 2a\theta}{4a} + C$.
(14) $\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\sin 2\theta}{4} + C$.
(15) $\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\sin 2a\theta}{4a} + C$.
(16) $\tfrac{1}{3} \epsilon^{3x}$. % [F1: +C?]
(17) $\log(1 + x) + C$.
(18) $-\log_\epsilon (1 - x) + C$.