现在按某个方便的比例把这些值画出来， 就得到两条曲线，图 6 和 图 6a。
仔细比较这两幅图，通过观察验证：
导出曲线 图 6a 的纵坐标高度，
与原曲线的斜率成正比（见这里关于曲线的斜率），
也就是 图 6 在对应 $x$ 值处的斜率。
在原点左侧，原曲线的斜率为负，
也就是从左到右向下倾斜，因此导出曲线对应的纵坐标为负。
现在回头看这里，我们会看到，
单独对 $x^2$ 求导会得到 $2x$。所以 $7x^2$ 的导数，
正好是 $x^2$ 的导数的 $7$ 倍。如果我们取的是 $8x^2$，
导数就会是 $x^2$ 的导数的八倍。如果写成 $y = ax^2$，就得到
\[
\frac{dy}{dx} = a × 2x.
\]
如果一开始是 $y = ax^n$，我们就会得到
$\dfrac{dy}{dx} = a×nx^{n-1}$。所以，单纯乘上一个常数，
在求导之后仍然表现为单纯乘上这个常数。
关于乘法成立的事，对除法也同样成立：
因为如果在上面的例子中，我们取的常数不是 $7$，
而是 $\frac{1}{7}$，那么求导结果里也会出现同样的 $\frac{1}{7}$。
更多例子。
下面这些进一步的例子会完整算出，
帮助你彻底掌握把求导用于普通代数表达式的过程，
并让你能够自己算出本章末尾给出的例题。
(1) 对 $y = \dfrac{x^5}{7} - \dfrac{3}{5}$ 求导。
$\dfrac{3}{5}$ 是加上的常数，会消失（见这里）。
于是我们可以直接写出
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{7} × 5 × x^{5-1}, \\
\text{或}\;
\frac{dy}{dx} = \frac{5}{7} x^4.
\]
(2) 对 $y = a\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\sqrt{a}$ 求导。
项 $\dfrac{1}{2}\sqrt{a}$ 是加上的常数，所以消失；
而 $a\sqrt{x}$ 写成指数形式就是 $ax^{\frac{1}{2}}$，于是
\[
\frac{dy}{dx}
= a × \frac{1}{2} × x^{\frac{1}{2}-1}
= \frac{a}{2} × x^{-\frac{1}{2}}, \\
\text{或}\;
\frac{dy}{dx} = \frac{a}{2\sqrt{x}}.
\]
(3) 如果 $ay + bx = by - ax + (x+y)\sqrt{a^2 - b^2}$，
求 $y$ 关于 $x$ 的导数。
通常，这类表达式需要比我们到目前为止掌握的知识稍微多一点；
不过，总值得先试一试能不能把表达式化成更简单的形式。
首先，我们必须试着把它化成 $y = {}$ 某个只含 $x$ 的表达式的形式。
这个表达式可以写成
\[
(a-b)y + (a + b)x = (x+y) \sqrt{a^2 - b^2}.
\]
两边平方，得到
\[
(a-b)^2 y^2 + (a + b)^2 x^2 + 2(a+b)(a-b)xy = (x^2+y^2+2xy)(a^2-b^2),
\]
化简为
\begin{align*}
(a-b)^2y^2 + (a+b)^2 x^2 &= x^2(a^2 - b^2) + y^2(a^2 - b^2); \\
\text{或}\;
[(a-b)^2 - (a^2 - b^2)]y^2 &= [(a^2 - b^2) - (a+b)^2]x^2, \\
\text{也就是}\;
2b(b-a)y^2 &= -2b(b+a)x^2;
\end{align*}
因此
\[
y = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} x \quad\text{并且}\quad \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}}.
\]
(4) 半径为 $r$、高为 $h$ 的圆柱体体积由公式 $V = \pi r^2 h$ 给出。
当 $r = 5.5$ 英寸且 $h=20$ 英寸时，求体积随半径变化的变化率。
如果 $r = h$，求圆柱体的尺寸，使得半径改变 $1$ 英寸时，
体积改变 $400$ 立方英寸。
$V$ 关于 $r$ 的变化率是
\[
\frac{dV}{dr} = 2 \pi r h.
\]
如果 $r = 5.5$ 英寸且 $h=20$ 英寸，这个值就是 $690.8$。
意思是半径改变 $1$ 英寸，会导致体积改变 $690.8$ 立方英寸。
这很容易验证，因为当 $r = 5$ 和 $r = 6$ 时，体积分别为
$1570$ 立方英寸和 $2260.8$ 立方英寸，而
$2260.8 - 1570 = 690.8$.
另外，如果
\[
r=h,\quad \dfrac{dV}{dr} = 2\pi r^2 = 400\quad \text{并且}\quad r = h = \sqrt{\dfrac{400}{2\pi}} = 7.98 \text{英寸}.
\]
(5) Féry 辐射高温计的读数 $\theta$，
与被观察物体的摄氏温度 $t$ 之间有如下关系：
\[
\dfrac{\theta}{\theta_1} = \left(\dfrac{t}{t_1}\right)^4,
\]
其中 $\theta_1$ 是被观察物体在已知温度 $t_1$ 下的对应读数。
已知温度为 $1000°$C. 时读数为 $25$，
比较该高温计在 $800°$C.、$1000°$C.、$1200°$C. 时的灵敏度。
灵敏度就是读数随温度变化的变化率，
也就是 $\dfrac{d\theta}{dt}$。公式可以写成
\[
\theta = \dfrac{\theta_1}{t_1^4} t^4 = \dfrac{25t^4}{1000^4},
\]
于是得到
\[
\dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{100t^3}{1000^4} = \dfrac{t^3}{10,000,000,000}.
\]
当 $t=800$、$1000$ 和 $1200$ 时，
分别得到 $\dfrac{d\theta}{dt} = 0.0512$、$0.1$ 和 $0.1728$。
灵敏度从 $800°$ 到 $1000°$ 大约翻了一倍，
到 $1200°$ 时又增加了四分之三。
对下列函数求导：
[2]
(1) $y = ax^3 + 6$.
(2) $y = 13x^{\frac{3}{2}} - c$.
(3) $y = 12x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}$.
(4) $y = c^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$.
(5) $u = \dfrac{az^n - 1}{c}$.
(6) $y = 1.18t^2 + 22.4$.
自己再编几个例子，试着对它们求导。
(7) 如果 $l_t$ 和 $l_0$ 分别是一根铁棒在温度 $t°$ C. 和 $0°$ C. 时的长度，
那么 $l_t = l_0(1 + 0.000012t)$。求这根棒每升高一摄氏度的长度变化。
(8) 已知如果 $c$ 是白炽电灯的烛光强度，$V$ 是电压，
则 $c = aV^b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。
求烛光强度随电压变化的变化率，并在一盏满足
$a = 0.5×10^{-10}$ 且 $b=6$ 的电灯中，
计算电压为 $80$、$100$ 和 $120$ 伏时每伏带来的烛光强度变化。
(9) 一根直径为 $D$、长度为 $L$、比重为 $\sigma$ 的弦，
在力 $T$ 的拉伸下振动，其频率 $n$ 由下式给出：
\[
n = \dfrac{1}{DL} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi\sigma}}.
\]
当 $D$、$L$、$\sigma$ 和 $T$ 分别单独变化时，
求频率的变化率。
(10) 一根管子在不被压塌的情况下能够承受的最大外压 $P$ 由下式给出：
\[
P = \left(\dfrac{2E}{1-\sigma^2}\right) \dfrac{t^3}{D^3},
\]
其中 $E$ 和 $\sigma$ 是常数，$t$ 是管壁厚度，$D$ 是管子的直径。
（这个公式假定 $4t$ 与 $D$ 相比很小。）
分别发生厚度的小变化和直径的小变化时，
比较 $P$ 的变化率。
(11) 从基本原理出发，求下列各量相对于半径变化的变化率：
(a ) - 半径为 $r$ 的圆的周长；
(b ) - 半径为 $r$ 的圆的面积；
(c ) - 母线长为 $l$ 的圆锥的侧面积；
(d ) - 半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥的体积；
(e ) - 半径为 $r$ 的球的表面积；
(f ) - 半径为 $r$ 的球的体积。
(12) 一根铁棒在温度 $T$ 下的长度 $L$ 由
$L = l_t\bigl[1 + 0.000012(T-t)\bigr]$ 给出，
其中 $l_t$ 是温度 $t$ 下的长度。
求一个适合热套到轮子上的铁轮箍，其直径 $D$ 在温度 $T$ 变化时的变化率。
(1) $\dfrac{dy}{dx} = 3ax^2$.
(2) $\dfrac{dy}{dx} = 13 × \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.
(3) $\dfrac{dy}{dx} = 6x^{-\frac{1}{2}}$.
(4) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2}c^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}}$.
(5) $\dfrac{du}{dz} = \dfrac{an}{c} z^{n-1}$.
(6) $\dfrac{dy}{dt} = 2.36t$.
(7) $\dfrac{dl_t}{dt} = 0.000012×l_0$.
(8) $\dfrac{dC}{dV} = abV^{b-1}$，分别为每伏 $0.98$、$3.00$ 和 $7.47$ 烛光强度。
(9) \[
\dfrac{dn}{dD} = -\dfrac{1}{LD^2} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi \sigma}},
\dfrac{dn}{dL} = -\dfrac{1}{DL^2} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi \sigma}}, \\
\dfrac{dn}{d \sigma}
= -\dfrac{1}{2DL} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi \sigma^3}},
\dfrac{dn}{dT} = \dfrac{1}{2DL} \sqrt{\dfrac{g}{\pi \sigma T}}.
\]
(10) \[
\dfrac{\text{当 } t \text{ 变化时 } P \text{ 的变化率}}
{\text{当 } D \text{ 变化时 } P \text{ 的变化率}}
= - \dfrac{D}{t}
\]
(11) $2\pi$, $2\pi r$, $\pi l$, $\frac{2}{3}\pi rh$, $8\pi r$, $4\pi r^2$.
(12) $\dfrac{dD}{dT} = \dfrac{0.000012l_t}{\pi}$.
习题 II
答案
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