我们来试试把一个函数反复求导几次会怎样（见这里）。 先从一个具体例子开始。
设 $y = x^5$。 \begin{alignat*}{3} &\text{第一次求导，} &&5x^4. && \\ &\text{第二次求导，} &&5 × 4x^3 &&= 20x^3. \\ &\text{第三次求导，} &&5 × 4 × 3x^2 &&= 60x^2. \\ &\text{第四次求导，} &&5 × 4 × 3 × 2x &&= 120x. \\ &\text{第五次求导，} &&5 × 4 × 3 × 2 × 1 &&= 120. \\ &\text{第六次求导，} && &&= 0. \end{alignat*}
有一种记号我们已经见过（见这里）， 一些作者常用它，而且很方便。做法是用通用符号 $f(x)$ 表示 $x$ 的任意函数。 这里的符号 $f( )$ 读作“……的函数”，但不说具体是哪一个函数。 所以 $y=f(x)$ 这句话只是告诉我们，$y$ 是 $x$ 的函数； 它可以是 $x^2$、$ax^n$、$\cos x$，也可以是 $x$ 的任何别的复杂函数。
相应的导数符号是 $f'(x)$，写起来比 $\dfrac{dy}{dx}$ 简洁。 它叫作 $x$ 的“导函数”。
假如再求一次导，就得到“第二导函数”，也就是二阶导数， 记作 $f''(x)$；依此类推。
现在把它推广一下。
设 $y = f(x) = x^n$。 \begin{align*} \text{第一次求导，}\; f'(x) &= nx^{n-1}. \\ \text{第二次求导，}\; f''(x) &= n(n-1)x^{n-2}. \\ \text{第三次求导，}\; f'''(x) &= n(n-1)(n-2)x^{n-3}. \\ \text{第四次求导，}\; f''''(x) &= n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}. \\ &\llap{\text{等等，}} \text{等等。} \end{align*}
不过，这并不是表示逐次求导的唯一方式。因为 \begin{align*} \text{若原函数为}\; y &= f(x); \\ \text{求导一次得}\; \frac{dy}{dx} &= f'(x); \\ \text{求导两次得}\; \frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} &= f''(x); \end{align*} 而这更方便地写作 $\dfrac{d^2y}{(dx)^2}$， 或者更常见地写作 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。 同样，求导三次的结果可以写作 $\dfrac{d^3y}{dx^3} = f'''(x)$。
例子 现在试试 $y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2$。 \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= f'(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f''(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f'''(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f''''(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f'''''(x) = 0. \end{align*} 同样地，如果 $y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)$， \begin{align*} \phi'(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x × 2x + (x^2 - 4) × 1\bigr] = 3(3x^2 - 4), \\ \phi''(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 × 6x = 18x, \\ \phi'''(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi''''(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align*}
求下列各式的 $\dfrac{dy}{dx}$ 和 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$：
(1) $y = 17x + 12x^2$.
(2) $y = \dfrac{x^2 + a}{x + a}$.
(3) $y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1×2} + \dfrac{x^3}{1×2×3} + \dfrac{x^4}{1×2×3×4}$.
(4) 求这里的习题 III 中第 1 至第 7 题， 以及这里给出的例子中第 1 至第 7 题的二阶和三阶导函数。
(1) $17 + 24x$; $24$.
(2) $\dfrac{x^2 + 2ax - a}{(x + a)^2}$; $\dfrac{2a(a + 1)}{(x + a)^3}$.
(3) $1 + x + \dfrac{x^2}{1 × 2} + \dfrac{x^3}{1 × 2 × 3}$; $1 + x + \dfrac{x^2}{1 × 2}$.
习题 III
(4) （习题 III。）：
(1) (a ) $\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d^3 y}{dx^3} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \ldots$.
(b ) $2a$, $0$.
(c ) $2$, $0$.
(d ) $6x + 6a$, $6$.
(2) $-b$, $0$.
(3) $2$, $0$.
(4) $\begin{gathered}[t] 56440x^3 - 196212x^2 - 4488x + 8192. \\ 169320x^2 - 392424x - 4488. \end{gathered}$
(5) $2$, $0$.
(6) $371.80453x$, $371.80453$.
(7) $\dfrac{30}{(3x + 2)^3}$, $-\dfrac{270}{(3x + 2)^4}$.
例子）：
(1) $\dfrac{6a}{b^2} x$, $\dfrac{6a}{b^2}$.
(2) $\dfrac{3a \sqrt{b}} {2 \sqrt{x}} - \dfrac{6b \sqrt[3]{a}}{x^3}$, $\dfrac{18b \sqrt[3]{a}}{x^4} - \dfrac{3a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^3}}$.
(3) $\dfrac{2}{\sqrt[3]{\theta^8}} - \dfrac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}}$, $\dfrac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} - \dfrac{16}{3 \sqrt[3]{\theta^{11}}}$.
(4) $\begin{gathered}[t] 810t^4 - 648t^3 + 479.52t^2 - 139.968t + 26.64. \\ 3240t^3 - 1944t^2 + 959.04t - 139.968. \end{gathered}$
(5) $12x + 2$, $12$.
(6) $6x^2 - 9x$, $12x - 9$.
(7)
$\begin{aligned}[t]
&\dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right)
+\dfrac{1}{4} \left(\dfrac{15}{\sqrt{\theta^7}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \\
&\dfrac{3}{8} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right)
-\dfrac{15}{8}\left(\dfrac{7}{\sqrt{\theta^9}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^7}}\right).
\end{aligned}$