和、差、积与商

我们已经学会了怎样对简单的代数函数求导，比如 $x^2 + c$ 或 $ax^4$；现在要看看怎样处理两个或更多函数的和。

例如，设 \[ y = (x^2+c) + (ax^4+b); \] 它的 $\dfrac{dy}{dx}$ 会是什么？这个新活儿该怎么下手？

答案很简单：把它们一个接一个地求导就行，像这样： \[ \dfrac{dy}{dx} = 2x + 4ax^3. (Ans.) \]

设 $y = u+v$，其中 $u$ 是 $x$ 的任意函数， $v$ 是 $x$ 的另一个函数。于是，让 $x$ 增加到 $x+dx$ 时， $y$ 会增加到 $y+dy$；$u$ 会增加到 $u+du$；$v$ 会增加到 $v+dv$。

于是有：

$ y+dy = u+du + v+dv.$

减去原来的 $y = u+v$，得到

$dy = du+dv, $

再全式除以 $dx$，得到：

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} + \dfrac{dv}{dx}.$

这就说明了这种做法为什么成立。把每个函数分别求导，再把结果相加。所以如果现在拿前一段的例子，把两个函数的值代入，并使用第三章讲过的记号，就有 \begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} & = \frac{d(x^2+c)}{dx} &&+ \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ & = 2x &&+ 4ax^3, \end{alignat*} 结果和前面完全一样。

如果有三个 $x$ 的函数，记作 $u$、$v$ 和 $w$，使得 \begin{align*} y &= u+v+w; \\ \text{于是}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx}. \end{align*}

至于相减，结论立刻就出来了；因为如果函数 $v$ 本身带有负号，它的导数也会带负号；所以对 \begin{align*} y &= u-v, \\ \text{得到}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}. \end{align*}

不过，一旦碰到乘积，事情就没有这么简单了。

假设要我们对下面这个式子求导： \[ y = (x^2+c) × (ax^4+b), \] 该怎么办？结果当然不是 $2x × 4ax^3$；因为很容易看出，$c × ax^4$ 和 $x^2 × b$ 都没有被算进那个乘积里。

现在有两种做法。

第一种方法。 先把乘法做完，展开之后再求导。

于是我们把 $x^2 + c$ 和 $ax^4 + b$ 相乘。

得到 $ax^6 + acx^4 + bx^2 + bc$。

现在求导，得到： \[ \dfrac{dy}{dx} = 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx. \]

第二种方法。 回到第一原理，考虑方程 \[ y = u × v; \] 其中 $u$ 是 $x$ 的一个函数，$v$ 是 $x$ 的另一个函数。那么，如果 $x$ 增长为 $x+dx$；$y$ 增长为 $y+dy$； $u$ 变为 $u+du$，$v$ 变为 $v+dv$，我们就有： \begin{align*} y + dy &= (u + du) × (v + dv) \\ &= u · v + u · dv + v · du + du · dv. \end{align*}

现在 $du · dv$ 是二阶小量，因此在取极限时可以舍去，剩下 \[ y + dy = u · v + u · dv + v · du. \]

然后，减去原来的 $y = u· v$，剩下 \[ dy = u · dv + v · du; \] 再全式除以 $dx$，得到结果： \[ \dfrac{dy}{dx} = u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}. \]

这说明我们的规则如下： 要求两个函数乘积的导数，就用每个函数乘以另一个函数的导数，再把所得的两个乘积相加。

你应该注意，这个过程等价于下面这样做：对 $v$ 求导时把 $u$ 当作常数；接着对 $u$ 求导时把 $v$ 当作常数；整个导数 $\dfrac{dy}{dx}$ 就是这两次处理的和。

现在既然找到了这条规则，就把它用到上面那个具体例子里。

我们要求这个乘积的导数： \[ (x^2 + c) × (ax^4 + b). \]

记 $(x^2 + c) = u$，并记 $(ax^4 + b) = v$。

于是，按照刚建立的一般规则，可以写成： \begin{alignat*}{2} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \\ \dfrac{dy}{dx} &= 6ax^5 + 4acx^3 &&+ 2bx, \end{alignat*} 结果和前面完全一样。

最后，我们还要对商求导。

想想这个例子：$y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}$。在这种情况下，想先把除法算出来没有用，因为 $x^2 + a$ 不能整除 $bx^5 + c$，它们也没有公因子。所以只好回到第一原理，找出一条规则。因此我们令 \[ y = \frac{u}{v}; \] 其中 $u$ 和 $v$ 是自变量 $x$ 的两个不同函数。那么，当 $x$ 变为 $x + dx$ 时，$y$ 会变为 $y + dy$； $u$ 会变为 $u + du$；$v$ 会变为 $v + dv$。于是 \[ y + dy = \dfrac{u + du}{v + dv}. \]

现在做代数除法，如下：

由于这两个余项都是二阶小量，可以忽略，除法也就可以到此为止，因为再往后的余项会更小。

所以我们得到： \begin{align*} y + dy &= \dfrac{u}{v} + \dfrac{du}{v} - \dfrac{u· dv}{v^2}; \\ \end{align*} 也可以写成 \begin{align*} &= \dfrac{u}{v} + \dfrac{v· du - u· dv}{v^2}. \\ \end{align*} 现在减去原来的 $y = \dfrac{u}{v}$，剩下： \begin{align*} dy &= \dfrac{v· du - u· dv}{v^2}; \\ \text{于是}\; \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{v\, \dfrac{du}{dx} - u\, \dfrac{dv}{dx}}{v^2}. \end{align*}

这就给出了怎样对两个函数的商求导。用除数函数乘以被除数函数的导数；再用被除数函数乘以除数函数的导数；两者相减。最后除以除数函数的平方的规则。

回到我们的例子 $y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}$， \begin{align*} \text{令}\; bx^5 + c &= u; \\ \text{且}\; x^2 + a &= v. \end{align*}

于是 \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad\text{（答案。）} \end{align*}

计算商的导数往往很烦，但并没有什么难处。

下面给出一些完整算过的例子。

(1) 对 $y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2}$ 求导。

$\dfrac{a^2}{b^2}$ 是常数，所以消失；于是有 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{a}{b^2} × 3 × x^{3-1} - \frac{a^2}{b} × 1 × x^{1-1}. \]

但 $x^{1-1} = x^0 = 1$；所以得到： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3a}{b^2} x^2 - \frac{a^2}{b}. \]

(2) 对 $y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab}$ 求导。

把 $x$ 写成指数形式，得到 \[ y = 2a\sqrt{b} x^{\frac{3}{2}} - 3b \sqrt[3]{a} x^{-1} - 2\sqrt{ab}. \]

现在 \[ \frac{dy}{dx} = 2a\sqrt{b} × \tfrac{3}{2} × x^{\frac{3}{2}-1} - 3b\sqrt[3]{a} × (-1) × x^{-1-1}; \\ \text{或，}\; \frac{dy}{dx} = 3a\sqrt{bx} + \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}. \]

(3) 对 $z = 1.8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4.4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27°$ 求导。

这可以写成：$z= 1.8\, \theta^{-\frac{2}{3}} - 4.4\, \theta^{-\frac{1}{5}} - 27°$。

$27°$ 消失，于是有 \[ \frac{dz}{d\theta} = 1.8 × -\tfrac{2}{3} × \theta^{-\frac{2}{3}-1} - 4.4 × \left(-\tfrac{1}{5}\right)\theta^{-\frac{1}{5}-1}; \\ \text{或，}\; \frac{dz}{d\theta} = -1.2\, \theta^{-\frac{5}{3}} + 0.88\, \theta^{-\frac{6}{5}}; \\ \text{或，}\; \frac{dz}{d\theta} = \frac{0.88}{\sqrt[5]{\theta^6}} - \frac{1.2}{\sqrt[3]{\theta^5}}. \]

(4) 对 $v = (3t^2 - 1.2 t + 1)^3$ 求导。

以后会说明一种直接做法（见这里）；不过现在我们照样可以毫不困难地处理它。

展开这个立方，得到 \[ v = 27t^6 - 32.4t^5 + 39.96t^4 - 23.328t^3 + 13.32t^2 - 3.6t + 1; \] 因此 \[ \frac{dv}{dt} = 162t^5 - 162t^4 + 159.84t^3 - 69.984t^2 + 26.64t - 3.6. \]

(5) 对 $y = (2x - 3)(x + 1)^2$ 求导。 \begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx} &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right. &&+ \left.(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] \\ & &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr] &&= 2(x + 1)(3x - 2) \end{alignat*} 或者，更简单地，先展开再求导。

(6) 对 $y = 0.5 x^3(x-3)$ 求导。 \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 0.5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0.5\left[x^3 + (x-3) × 3x^2\right] = 2x^3 - 4.5x^2. \end{align*}

说明同前一个例子。

(7) 对 $w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right)$.

这可以写成 \begin{gather*} w = (\theta + \theta^{-1})(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}). \\ \begin{aligned} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\ &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\ &= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{aligned} \end{gather*}

同样，这也可以用更简单的办法得到：先把两个因子相乘，再求导。不过这并不总是可行；例如见这里的例 8，那里必须使用乘积求导规则。

(8) 对 $y =\dfrac{a}{1 + a\sqrt{x} + a^2x}$ 求导。 \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) × 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + a\sqrt{x} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align*}

(9) 对 $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ 求导。 \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x^2 + 1)\, 2x - x^2 × 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}. \]

(10) 对 $y = \dfrac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}}$ 求导。

写成指数形式，$y = \dfrac{a + x^{\frac{1}{2}}}{a - x^{\frac{1}{2}}}$。 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(a - x^{\frac{1}{2}})( \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - (a + x^{\frac{1}{2}})(-\tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}})} {(a - x^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{ a - x^{\frac{1}{2}} + a + x^{\frac{1}{2}}} {2(a - x^{\frac{1}{2}})^2\, x^{\frac{1}{2}}}; \\ \text{因此}\; \frac{dy}{dx} = \frac{a}{(a - \sqrt{x})^2\, \sqrt{x}}. \]

(11) 对下面的式子求导：

\begin{align*} \theta &= \frac{1 - a \sqrt[3]{t^2}}{1 + a \sqrt[2]{t^3}}. \\ \text{现在}\; \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \end{align*} \begin{align*} \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) × \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{t^3})^2}. \end{align*}

(12) 一个横截面为正方形的水库，其侧面与竖直方向成 $45°$ 角倾斜。底部边长为 $200$ 英尺。求水深每变化 $1$ 英尺时流入或流出的水量表达式；并据此求出在 $24$ 小时内水深从 $14$ 英尺降到 $10$ 英尺时，每小时抽出的水量（以加仑计）。

高度为 $H$、上下底面积为 $A$ 和 $a$ 的棱台体积为 $V = \dfrac{H}{3} (A + a + \sqrt{Aa} )$。很容易看出，由于斜角为 $45°$，若水深为 $h$，水面正方形的边长就是 $200 + 2h$ 英尺，因此水的体积为 \[ \dfrac{h}{3} [200^2 + (200 + 2h)^2 + 200(200 + 2h)] = 40,000h + 400h^2 + \dfrac{4h^3}{3}. \]

$\dfrac{dV}{dh} = 40,000 + 800h + 4h^2 = {}$ 每英尺水深变化对应的立方英尺数。从 $14$ 英尺到 $10$ 英尺的平均水位是 $12$ 英尺；当 $h = 12$ 时，$\dfrac{dV}{dh} = 50,176$ 立方英尺。

水深在 $24$ 小时内变化 $4$ 英尺所对应的每小时加仑数 ${} = \dfrac{4 × 50,176 × 6.25}{24} = 52,267$ 加仑。

(13) 温度为 $t°$ C 时，饱和蒸汽的绝对压力（以大气压计）$P$，按 Dulong 给出的公式为 $P = \left( \dfrac{40 + t}{140} \right)^5$，只要 $t$ 高于 $80°$ 即可。求 $100°$ C 时压力随温度变化的变化率。

用二项式定理展开分子（见这里）。 \[ P = \frac{1}{140^5} (40^5 + 5×40^4 t + 10 × 40^3 t^2 + 10 × 40^2 t^3 + 5 × 40t^4 + t^5); \] \begin{align*} \text{因此}\; \dfrac{dP}{dt} = &\dfrac{1}{537,824 × 10^5}\\ &(5 × 40^4 + 20 × 40^3 t + 30 × 40^2 t^2 + 20 × 40t^3 + 5t^4), \end{align*} 当 $t = 100$ 时，这变为每摄氏度温度变化 $0.036$ 个大气压。