给 $x$ 指定一串连续的值，并求出对应的 $y$ 值，我们很容易看出， 这个方程表示一条有极小值的曲线。
求导的主要用途之一，就是找出在什么条件下，被求导的那个量会变成极大值或极小值。 在工程问题中，这常常极为重要，因为人们非常想知道怎样的条件能使运行成本最小， 或使效率最大。
现在，先从一个具体例子开始，取方程
\[
y = x^2 - 4x + 7.
\]
给 $x$ 指定一串连续的值，并求出对应的 $y$ 值，我们很容易看出，
这个方程表示一条有极小值的曲线。
| $x$ | $ 0$ | $ 1 $ | $2 $ | $3 $ | $4$ | $ 5$ |
| $y$ | $ 7$ | $ 4 $ | $3 $ | $4 $ | $7$ | $ 12$ |
这些值画在 图 26 中，它显示当 $x$ 等于 $2$ 时， $y$ 看起来有一个极小值 $3$。但你能肯定极小值就发生在 $2$， 而不是 $2 \tfrac{1}{4}$ 或 $1 \tfrac{3}{4}$ 吗？
当然，对于任何代数表达式，都可以算出一大堆数值，用这种办法逐渐逼近那个可能给出极大值或极小值的特定值。
再看一个例子：
令 $y = 3x - x^2$。
这样计算几个值：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $y$ | $-4$ | $0$ | $2$ | $2$ | $0$ | $-4$ | $-10$ |
把这些值画出来，如 图 27 所示。
很明显，极大值会出现在 $x = 1$ 和 $x = 2$ 之间的某处；而且它看起来像是 $y$ 的极大值应当约为 $2 \tfrac{1}{4}$。试几个中间值。如果 $x = 1 \tfrac{1}{4}$，则 $y = 2.187$；如果 $x = 1 \tfrac{1}{2}$， 则 $y = 2.25$；如果 $x = 1.6$，则 $y = 2.24$。我们怎样才能确定 $2.25$ 真的是极大值，并且它恰好发生在 $x = 1 \tfrac{1}{2}$ 时呢？
现在，如果有人向你保证，不用先做一大堆试算或猜测，也有一种办法可以直接找到极大值（或极小值）， 这听起来也许像变戏法。而这个办法依赖于求导。回头看看前面一页（这里） 关于 图 14 和 图 15 的说明， 你会看到，每当一条曲线达到它的最高点或最低点时，在那一点都有 $\dfrac{dy}{dx} = 0$。这就给了我们所需小诀窍的线索。给你一个方程， 而你想找出那个使它的 $y$ 取极小值（或极大值）的 $x$ 值时，先对它求导； 求完之后，把它的 $\dfrac{dy}{dx}$ 写成等于零，然后解出 $x$。 把这个特定的 $x$ 值代回原方程，就会得到所需的 $y$ 值。这个过程通常叫做“令其等于零”。
为了看看它有多简单，就取本章开头的例子，也就是 \[ y = x^2 - 4x + 7. \] 求导，得到： \[ \dfrac{dy}{dx} = 2x - 4. \] 现在令它等于零： \[ 2x - 4 = 0. \] 解这个方程，得到： \begin{align*} 2x &= 4, \\ x &= 2. \end{align*}
现在，我们知道极大值（或极小值）恰好会在 $x=2$ 时出现。
把 $x=2$ 代入原方程，得到 \begin{align*} y &= 2^2 - (4×2) + 7 \\ &= 4 - 8 + 7 \\ &= 3. \end{align*}
现在回头看 图 26，你会看到极小值发生在 $x = 2$ 时， 并且这个极小值是 $y = 3$。
试试第二个例子（图 24），它是 \begin{align*} y &= 3x - x^2. \\ \text{求导，}\; \frac{dy}{dx} &= 3 - 2x. \\ \end{align*} 令它等于零， \begin{align*} 3 - 2x &= 0, \\ \text{于是}\; x &= 1 \tfrac{1}{2}; \\ \end{align*} 再把这个 $x$ 值代入原方程，得到： \begin{align*} y &= 4 \tfrac{1}{2} - (1 \tfrac{1}{2} × 1 \tfrac{1}{2}), \\ y &= 2 \tfrac{1}{4}. \end{align*} 这正好给出了那种试很多数值的方法没有把握给出的信息。
现在，在继续看更多例子之前，我们要说两点。当你被要求把 $\dfrac{dy}{dx}$ 令为零时， 一开始你会觉得有点不服气（也就是说，如果你还有点自己的脑筋的话），因为你知道 $\dfrac{dy}{dx}$ 在曲线的不同部分会有各种不同的值，这取决于曲线是向上倾斜还是向下倾斜。 所以，当别人突然叫你写 \[ \frac{dy}{dx} = 0, \] 你就会反感，并且想说这不可能是真的。现在你必须明白“方程”和“条件方程”之间的本质区别。 通常你处理的是本身成立的方程；但有些时候，比如现在这些例子，你必须写下一些不一定总成立的方程， 它们只在某些条件满足时才成立；你写下它们，是为了通过求解找出使它们成立的条件。 现在我们想找出当曲线既不向上倾斜也不向下倾斜时，$x$ 所具有的特定值； 也就是在 $\dfrac{dy}{dx} = 0$ 的那个特定位置。所以，写下 $\dfrac{dy}{dx} = 0$ 并不是说它永远都等于 $0$；而是把它作为一个条件写下来， 以便看出如果 $\dfrac{dy}{dx}$ 要为零，$x$ 会是多少。
第二点你大概已经想到过（如果你还有点自己的脑筋的话）：这个被夸得很厉害的“令其等于零”过程， 完全没有告诉你这样求出来的 $x$ 会给出 $y$ 的极大值还是极小值。 没错。它本身不会区分；它替你找到正确的 $x$ 值，但让你自己去判断对应的 $y$ 是极大值还是极小值。当然，如果你已经画出了曲线，那你早就知道是哪一种了。
例如，取方程： \[ y = 4x + \frac{1}{x}. \]
先不要停下来想它对应什么曲线，直接求导并令它等于零： \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 4 - x^{-2} = 4 - \frac{1}{x^2} = 0; \\ \text{于是}\; x &= \tfrac{1}{2}; \\ \end{align*} 代入这个值， \begin{align*} y &= 4 \end{align*} 将是极大值或极小值。但到底是哪一个？以后会告诉你一种依赖于二次求导的方法 （见第 XII 章）。不过现在，只要你试取另一个与求得值略有不同的 $x$ 值，看看在这个改变后的值下，对应的 $y$ 是比已经求得的值小还是大，就够了。
再试一个关于极大值和极小值的简单问题。假设有人要求你把任意一个数分成两部分， 使这两部分的乘积最大。如果你不知道令其等于零的小诀窍，会怎样下手？我想你可以用“试、试、再试”的办法硬磨出来。 设这个数是 $60$。你可以试着把它分成两部分，再把两部分相乘。比如，$50$ 乘 $10$ 是 $500$； $52$ 乘 $8$ 是 $416$；$40$ 乘 $20$ 是 $800$；$45$ 乘 $15$ 是 $675$； $30$ 乘 $30$ 是 $900$。这看起来像极大值；再变一变试试。$31$ 乘 $29$ 是 $899$， 不如它好；$32$ 乘 $28$ 是 $896$，更差。所以看来，要得到最大的乘积，应当分成相等的两半。
现在看看微积分会告诉你什么。把要分成两部分的数叫做 $n$。如果其中一部分是 $x$， 另一部分就是 $n-x$，乘积就是 $x(n-x)$，也就是 $nx-x^2$。所以写作 $y=nx-x^2$。 现在求导并令它等于零： \begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = n - 2x = 0\\ \text{解出 }x\text{，得}\; \dfrac{n}{2} = x.\\ \end{align*} 所以现在我们知道，不论 $n$ 是什么数，只要想让两部分的乘积最大，就必须把它分成相等的两部分； 并且这个最大乘积的值总是 $ = \tfrac{1}{4} n^2$。
这是一条很有用的规则，而且适用于任意多个因子。因此，如果 $m+n+p=$ 一个常数， 那么当 $m=n=p$ 时，$m×n×p$ 取最大值。
测试例。
我们马上把所学用到一个可以检验的例子上。 \begin{align*} \text{令 } y &= x^2 - x; \end{align*} 看看这个函数有没有极大值或极小值；如果有，再检验它到底是极大值还是极小值。
求导，得到 \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 2x - 1. \\ \text{令其等于零，得}\; 2x - 1 &= 0, \\ \text{于是}\; 2x &= 1, \\ \text{或}\; x &= \tfrac{1}{2}. \end{align*}
也就是说，当 $x$ 取 $=\frac{1}{2}$ 时，对应的 $y$ 值将是极大值或极小值。 于是，把 $x=\frac{1}{2}$ 代入原方程，得到 \begin{align*} y &= (\tfrac{1}{2})^2 - \tfrac{1}{2}, \\ \text{或}\; y &= -\tfrac{1}{4}. \end{align*}
这是极大值还是极小值？为了检验它，试着把 $x$ 取成比 $\frac{1}{2}$ 略大一点， 比如令 $x=0.6$。于是 \[ y = (0.6)^2 - 0.6 = 0.36 - 0.6 = -0.24, \] 它比 $-0.25$ 更高；这说明 $y = -0.25$ 是一个极小值。
你自己画出这条曲线，验证这个计算。
更多例子。
一条同时具有极大值和极小值的曲线，提供了一个很有趣的例子。它的方程是：
\begin{align*}
y &=\tfrac{1}{3} x^3 - 2x^2 + 3x + 1. \\
\text{现在}\; \dfrac{dy}{dx} &= x^2 - 4x +3.
\end{align*}
令它等于零，得到二次方程
\[
x^2 - 4x +3 = 0;
\]
解这个二次方程，得到两个根，即
\[
\left\{
\begin{aligned}
x &= 3 \\
x &= 1.
\end{aligned}
\right.
\]
现在，当 $x=3$ 时，$y=1$；当 $x=1$ 时，$y=2\frac{1}{3}$。
前者是极小值，后者是极大值。
曲线本身可以按下表中由原方程算出的值画出（如 图 28）。
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| $y$ | $-4\frac{1}{3}$ | $1$ | $2\frac{1}{3}$ | $1\frac{2}{3}$ | $1$ | $2\frac{1}{3}$ | $7\frac{2}{3}$ | $19$ |
下面的例子提供了一个进一步练习极大值和极小值的机会：
半径为 $r$ 的圆，其圆心 $C$ 位于坐标为 $x=a$, $y=b$ 的点，
如 图 29 所示，它的方程是：
\[
(y-b)^2 + (x-a)^2 = r^2.
\]
这可以变形为
\[
y = \sqrt{r^2-(x-a)^2} + b.
\]
现在，只要看一眼图，我们预先就知道：当 $x=a$ 时，$y$ 要么取到极大值 $b+r$，
要么取到极小值 $b-r$。不过我们先不利用这个知识；我们通过求导并令其等于零的过程，
来找出什么 $x$ 值会使 $y$ 成为极大值或极小值。
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}} × (2a-2x), \\
\text{化简为}\;
\frac{dy}{dx} &= \frac{a-x}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}}.
\end{align*}
于是 $y$ 成为极大值或极小值的条件是：
\[
\frac{a-x}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}} = 0.
\]
由于没有任何 $x$ 值会使分母变成无穷大，所以使它为零的唯一条件是
\begin{align*}
x &= a.
\end{align*}
把这个值代入圆的原方程，得到
\begin{align*}
y &= \sqrt{r^2}+b;
\end{align*}
又因为 $r^2$ 的平方根可以是 $+r$ 或 $-r$，所以得到两个 $y$ 值
\begin{align*}
\left\{\begin{aligned}y \\ y\end{aligned}\right. &
\begin{aligned}= b & + r \\ = b & - r.\end{aligned}
\end{align*}
其中第一个是顶部的极大值；第二个是底部的极小值。
如果曲线上没有任何地方是极大值或极小值，那么令其等于零的过程会给出不可能的结果。例如：
\begin{align*}
\text{令}\;
y &= ax^3 + bx + c. \\
\text{于是}\;
\frac{dy}{dx} &= 3ax^2 + b.
\end{align*}
令它等于零，得到 $3ax^2 + b = 0$，
\[
x^2 = \frac{-b}{3a}, \quad\text{且}\quad x = \sqrt{\frac{-b}{3a}},\;\text{这是不可能的。}
\]
因此 $y$ 没有极大值，也没有极小值。
再做几个例题，就能让你彻底掌握微积分这种最有趣、最有用的应用。
(1) 在半径为 $R$ 的圆内接一个面积最大的矩形，它的边长是多少？
若其中一边叫做 $x$，
\[
\text{另一边} = \sqrt{(\text{对角线})^2 - x^2};
\]
而矩形的对角线必定是圆的直径，所以另一边 $ = \sqrt{4R^2 - x^2}$。
于是，矩形面积 $S = x\sqrt{4R^2 - x^2}$，
\[
\frac{dS}{dx} = x × \dfrac{d\left(\sqrt{4R^2 - x^2}\,\right)}{dx} + \sqrt{4R^2 - x^2} × \dfrac{d(x)}{dx}.
\]
如果你忘了怎样对 $\sqrt{4R^2-x^2}$ 求导，这里给个提示：写成
$4R^2-x^2=w$ 和 $y=\sqrt{w}$，再求 $\dfrac{dy}{dw}$ 和 $\dfrac{dw}{dx}$；
先自己硬碰硬算出来，实在算不下去再去看这里。
你会得到
\[
\dfrac{dS}{dx}
= x × -\dfrac{x}{\sqrt{4R^2 - x^2}} + \sqrt{4R^2 - x^2}
= \dfrac{4R^2 - 2x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}}.
\]
为了取得极大值或极小值，必须有
\[
\dfrac{4R^2 - 2x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}} = 0;
\]
也就是 $4R^2 - 2x^2 = 0$，所以 $x = R\sqrt{2}$。
另一边 ${} = \sqrt{4R^2 - 2R^2} = R\sqrt{2}$；两边相等；这个图形是一个正方形，
它的边长等于以半径为边所作正方形的对角线。在这个情形中，我们处理的当然是极大值。
(2) 一个圆锥形容器的母线长为 $l$，当它的容量最大时，开口半径是多少？
若 $R$ 是半径，$H$ 是对应的高度，
$H = \sqrt{l^2 - R^2}$.
\[
\text{体积 } V = \pi R^2 × \dfrac{H}{3} = \pi R^2 × \dfrac{\sqrt{l^2 - R^2}}{3}.
\]
按前一题同样处理，得到
\begin{align*}
\dfrac{dV}{dR}
&= \pi R^2 × -\dfrac{R}{3\sqrt{l^2 - R^2}} + \dfrac{2\pi R}{3} \sqrt{l^2 - R^2} \\
&= \dfrac{2\pi R(l^2 - R^2) - \pi R^3}{3\sqrt{l^2 - R^2}} = 0
\end{align*}
这是极大值或极小值的条件。
也就是 $2\pi R(l^2 - R^2) - \pi R^2 = 0$，并且 $R = l\sqrt{\tfrac{2}{3}}$；
显然这是极大值。
(3) 求函数的极大值和极小值：
\[
y = \dfrac{x}{4-x} + \dfrac{4-x}{x}.
\]
我们得到
\[
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(4-x)-(-x)}{(4-x)^2} + \dfrac{-x - (4-x)}{x^2} = 0
\]
作为极大值或极小值的条件；也就是
\[
\dfrac{4}{(4-x)^2} - \dfrac{4}{x^2} = 0 \quad\text{且}\quad x = 2.
\]
只有一个值，因此只有一个极大值或极小值。
\begin{align*}
\text{当}\quad x &= 2,\phantom{.5}\quad y = 2, \\
\text{当}\quad x &= 1.5,\quad y = 2.27, \\
\text{当}\quad x &= 2.5,\quad y = 2.27;
\end{align*}
所以它是极小值。（画出这个函数的图像会很有启发。）
(4) 求函数 $y = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$ 的极大值和极小值。
（你会发现画出图像很有启发。）
求导立即得到（见这里的例 1）
\[
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0
\]
作为极大值或极小值的条件。
因此 $\sqrt{1+x} = \sqrt{1-x}$，且 $x = 0$，这是唯一解。
当 $x=0$ 时，$y=2$。
当 $x=±0.5$ 时，$y= 1.932$，所以这是极大值。
(5) 求函数的极大值和极小值：
\[
y = \dfrac{x^2-5}{2x-4}.
\]
我们有
\[
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(2x-4) × 2x - (x^2-5)2}{(2x-4)^2} = 0
\]
作为极大值或极小值的条件；也就是
\[
\dfrac{2x^2 - 8x + 10}{(2x - 4)^2} = 0;
\]
或 $x^2 - 4x + 5 = 0$；其解为
\[
x = \tfrac{5}{2} ± \sqrt{-1}.
\]
这些是虚数，所以不存在实数 $x$ 使 $\dfrac{dy}{dx} = 0$；
因此既没有极大值，也没有极小值。
(6) 求函数的极大值和极小值：
\[
(y-x^2)^2 = x^5.
\]
这可以写成 $y = x^2 ± x^{\frac{5}{2}}$。
\[
\dfrac{dy}{dx} = 2x ± \tfrac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} = 0 \quad\text{作为极大值或极小值的条件};
\]
也就是 $x(2 ± \tfrac{5}{2} x^{\frac{1}{2}}) = 0$，它在 $x = 0$ 时成立；
也在 $2 ± \tfrac{5}{2} x^{\frac{1}{2}} = 0$ 时成立，即 $x=\tfrac{16}{25}$。
所以有两个解。
先取 $x = 0$。如果 $x = -0.5$，则 $y = 0.25 ± \sqrt[2]{-(.5)^5}$；
如果 $x = +0.5$，则 $y = 0.25 ± \sqrt[2]{(.5)^5}$。在一侧 $y$ 是虚数；
也就是说，没有可以由图像表示的 $y$ 值；因此这条曲线完全在 $y$ 轴右侧
（见 图 30）。
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