设 $AB$（图 52）是一条方程已知的曲线。 也就是说，这条曲线上的 $y$ 是 $x$ 的某个已知函数。 取曲线上从点 $P$ 到点 $Q$ 的一段来想。
从 $P$ 向下作垂线 $PM$，再从点 $Q$ 向下作另一条垂线 $QN$。 于是记 $OM = x_1$、$ON = x_2$，并记纵坐标 $PM = y_1$、$QN = y_2$。这样，我们就标出了曲线段 $PQ$ 下方的面积 $PQNM$。问题是：怎样计算这个面积的值？
解决这个问题的秘诀，是把这个面积想成分成许多窄条，
每一条的宽都是 $dx$。$dx$ 取得越小，$x_1$ 和 $x_2$
之间这样的窄条就越多。显然，整个面积等于所有这些窄条面积的和。
于是我们的任务就是找出任意一条窄条面积的表达式，然后对它积分，
也就是把所有窄条加起来。现在想一想任意一条窄条。它会像这样：
夹在两条竖边之间，底边是平的 $dx$，上边则是略微弯曲的斜边。
假设我们把它的平均高度取为 $y$；那么，由于它的宽是
$dx$，面积就是 $y\, dx$。而且宽度可以随我们愿意取得很窄；
只要取得足够窄，它的平均高度就会等同于中点处的高度。
现在把整个面积的未知值记为 $S$，表示面积。一个窄条的面积
不过是整个面积的一小片，因此可以叫作 $dS$。所以可以写成
\[
\text{一条窄条面积} = dS = y · dx.
\]
如果把所有窄条加起来，就得到
\[
\text{总面积 $S$} = \int dS = \int y\, dx.
\]
因此，要找到 $S$，就取决于在这个具体情形中，当我们知道
$y$ 作为 $x$ 的函数是什么时，能不能积分 $y · dx$。
例如，如果有人告诉你，眼前这条特定曲线满足
$y = b + ax^2$，你当然可以把这个值代入表达式，并说：
那我必须求 $\int (b + ax^2)\, dx$。
这样固然不错；但稍微想一想就会发现，还必须再做一点事情。
因为我们要求的并不是整条曲线下方的面积，而只是左边由 $PM$
限制、右边由 $QN$ 限制的那块面积，所以我们必须做些事情，
把面积限定在这些“限”之间。
这就引出了一个新概念，也就是定限积分。我们假设 $x$
是变化的；就目前目的而言，不需要任何低于 $x_1$（也就是 $OM$）
的 $x$ 值，也不需要任何高于 $x_2$（也就是 $ON$）的 $x$ 值。
当一个积分这样被两个限界定时，我们把两个值中较低的那个叫作
下限，较高的那个叫作上限。任何这样带有限的积分，
我们称为定积分，以区别于没有指定限的一般积分。
在表示积分指令的符号中，限分别写在积分号的上方和下方。
因此，指令
\[
\int_{x=x_1}^{x=x_2} y · dx
\]
读作：求 $y · dx$ 在下限 $x_1$ 与上限 $x_2$ 之间的积分。
有时这件事写得更简单：
\[
\int^{x_2}_{x_1} y · dx.
\]
好，可是拿到这样的指令后，怎样求两个限之间的积分呢？
再看图 52。假设我们能够求出从 $A$ 到 $Q$
这段较大曲线下方的面积，也就是从 $x = 0$ 到 $x = x_2$ 的面积，
记为 $AQNO$。再假设我们能够求出从 $A$ 到 $P$ 那段较小曲线
下方的面积，也就是从 $x = 0$ 到 $x = x_1$ 的面积，即 $APMO$。
那么，用较大面积减去较小面积，剩下的就是 $PQNM$，
这正是我们想要的面积。这里就有了做法的线索：
两个限之间的定积分，就是按上限算出的积分与按下限算出的积分
之间的差。
那么继续。先这样求一般积分：
\[
\int y\, dx,
\]
而且，由于 $y = b + ax^2$ 是这条曲线（图 52）的方程，
\[
\int (b + ax^2)\, dx
\]
这就是我们必须求出的一般积分。
按规则完成这个积分，得到
\[
bx + \frac{a}{3} x^3 + C;
\]
这就是从 $0$ 到我们指定的任意 $x$ 值为止的整个面积。
因此，到上限 $x_2$ 为止的较大面积是
\[
bx_2 + \frac{a}{3} x_2^3 + C;
\]
而到下限 $x_1$ 为止的较小面积是
\[
bx_1 + \frac{a}{3} x_1^3 + C.
\]
现在，用较大者减去较小者，就得到面积 $S$ 的值：
\[
\text{面积 $S$} = b(x_2 - x_1) + \frac{a}{3}(x_2^3 - x_1^3).
\]
这就是我们要的答案。给它一些数值吧。设 $b = 10$，
$a = 0.06$，并且 $x_2 = 8$、$x_1 = 6$。那么面积 $S$ 等于
\begin{gather*}
10(8 - 6) + \frac{0.06}{3} (8^3 - 6^3) \\
\begin{aligned}
&= 20 + 0.02(512 - 216) \\
&= 20 + 0.02 × 296 \\
&= 20 + 5.92 \\
&= 25.92.
\end{aligned}
\end{gather*}
在这里，把我们关于限所弄清楚的事情用符号写出来：
\[
\int^{x=x_2}_{x=x_1} y\, dx = y_2 - y_1,
\]
其中 $y_2$ 是 $y\, dx$ 对应于 $x_2$ 的积分值，
而 $y_1$ 是对应于 $x_1$ 的积分值。
所有定限积分，都需要这样求出两个值之间的差。
还要注意，在相减时，所加的常数 $C$ 消失了。
例题
(1) 为了熟悉这个过程，我们取一个事先知道答案的情形。
求三角形（图 53）的面积，它的底为 $x = 12$，
高为 $y = 4$。从显然的量法可知，答案会是 $24$。
现在，这里的“曲线”是一条斜直线，它的方程是
\[
y = \frac{x}{3}.
\]
所求面积就是
\[
\int^{x=12}_{x=0} y · dx = \int^{x=12}_{x=0} \frac{x}{3} · dx.
\]
对 $\dfrac{x}{3}\, dx$ 积分（见这里），
并把一般积分的值写在方括号中，上下标出限，就得到
\begin{align*}
\text{面积}\;
&= \left[ \frac{1}{3} · \frac{1}{2} x^2 \right]^{x=12}_{x=0} + C \\
&= \left[ \frac{x^2}{6} \right]^{x=12}_{x=0} + C \\
&= \left[ \frac{12^2}{6} \right] - \left[ \frac{0^2}{6} \right] \\
&= \frac{144}{6} = 24.\quad Ans.
\end{align*}
这个计算小诀窍相当令人惊奇，我们用一个简单例子检验一下，
让自己信服。找一张方格纸，最好每个方向都是八分之一英寸
或十分之一英寸的小方格。在这张方格纸上画出方程
\[
y = \frac{x}{3}.
\]
要描出的数值是：
