小诀窍。 积分工作中，很大一部分力气都花在把要积的东西 揉成某种可以积分的形状上。讲积分学的书，这里指那些严肃的书， 满是为了这类工作准备的方案、方法、小诀窍和手段。下面列出其中 几种。
分部积分。 这是一个小诀窍的名称，它的公式是 \[ \int u\, dx = ux - \int x\, du + C. \] 它在一些不能直接下手的情形中很有用，因为它说明：只要某个情形下 $\int x\, du$ 能求出来，那么 $\int u\, dx$ 也就能求出来。这个公式可 以这样推出。由这里可知， \[ d(ux) = u\, dx + x\, du, \] 可写成 \[ u(dx) = d(ux) - x\, du, \] 直接积分便得到上面的式子。
例题 (1) 求 $\int w · \sin w\, dw$。
令 $u = w$，并把 $\sin w · dw$ 写作 $dx$。于是有 $du = dw$， 同时 $\int \sin w · dw = -\cos w = x$。
把这些代入公式，得到 \begin{align*} \int w · \sin w\, dw &= w(-\cos w) - \int -\cos w\, dw \\ &=-w \cos w + \sin w + C. \end{align*}
(2) 求 $\int x \epsilon^x\, dx$。 \begin{align*} \text{写作}\; u &= x, & \epsilon^x\, dx&=dv; \\ \text{则 }\; du &= dx, & v &=\epsilon^x, \end{align*} 并且 \[ \int x\epsilon^x\, dx = x\epsilon^x - \int \epsilon^x\, dx \quad \text{（由公式）} \\ = x \epsilon^x - \epsilon^x = \epsilon^x(x-1) + C. \]
(3) 试求 $\int \cos^2 \theta\, d\theta$。 \begin{align*} u &= \cos \theta, &\cos \theta\, d\theta &= dv. \\ \text{因此 }\; du&= -\sin \theta\, d\theta, & v &=\sin \theta, \end{align*} \begin{align*} \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \cos \theta \sin \theta+ \int \sin^2 \theta\, d\theta \\ &= \frac{2 \cos\theta \sin\theta}{2} +\int(1-\cos^2 \theta)\, d\theta \\ &= \frac{\sin 2\theta}{2} + \int d\theta - \int \cos^2 \theta\, d\theta. \end{align*} \begin{align*} \text{因此}\; 2 \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin 2\theta}{2} + \theta \\ \text{且}\quad \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C. \end{align*}
(4) 求 $\int x^2 \sin x\, dx$。 \begin{align*} \text{写作 }\; x^2 &= u, & \sin x\, dx &= dv; \\ \text{则 }\; du &= 2x\, dx, & v &= -\cos x, \end{align*} \[ \int x^2 \sin x\, dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x\, dx. \]
现在求 $\int x \cos x\, dx$，仍用分部积分（如上面的例 1）： \[ \int x \cos x\, dx = x \sin x + \cos x+C. \]
因此 \begin{align*} \int x^2 \sin x\, dx &= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C' \\ &= 2 \left[ x \sin x + \cos x \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \right] +C'. \end{align*}
(5) 求 $\int \sqrt{1-x^2}\, dx$。 \begin{align*} \text{写作}\; u &= \sqrt{1-x^2},\quad dx=dv; \\ \text{则 }\; du &= -\frac{x\, dx}{\sqrt{1-x^2}}\quad \text{（见 }\href{9.html}{\text{第 IX 章}}\text{）} \end{align*} 并且 $x=v$；所以 \[ \int \sqrt{1-x^2}\, dx=x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]
这里可以用一个小诀窍，因为我们可以写成 \[ \int \sqrt{1-x^2}\, dx = \int \frac{(1-x^2)\, dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} - \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]
把最后这两个等式相加，就可以消去 $\int \dfrac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}$，于是得到 \[ 2 \int \sqrt{1-x^2}\, dx = x\sqrt{1-x^2} + \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]
你还记得见过 $\dfrac {dx}{\sqrt{1-x^2}}$ 吗？它是对 $y=\arcsin x$ 求导得到的（见这里）；因此它的积分 是 $\arcsin x$，所以 \[ \int \sqrt{1-x^2}\, dx = \frac{x \sqrt{1-x^2}}{2} + \tfrac{1}{2} \arcsin x +C. \]
现在你可以自己试做一些习题；本章末尾就有几道。
换元法。 这就是第 IX 章讲过的同一个小诀窍。 我们用几个例子来说明它在积分中的用法。
(1) $\int \sqrt{3+x}\, dx$。 \begin{align*} \text{令 } 3+x &= u,\quad dx = du; \\ \text{代入}\quad \int u^{\frac{1}{2}}\, du &= \tfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = \tfrac{2}{3}(3+x)^{\frac{3}{2}}. \end{align*}
(2) $\int \dfrac{dx}{\epsilon^x+\epsilon^{-x}}$。 令 \[ \epsilon^x = u,\quad \frac{du}{dx} = \epsilon^x,\quad\text{并且}\quad dx = \frac{du}{\epsilon^x}; \\ \] 所以 \[ \int \frac{dx}{\epsilon^x+\epsilon^{-x}} = \int \frac{du}{\epsilon^x(\epsilon^x+\epsilon^{-x})} = \int \frac{du}{u\left(u + \dfrac{1}{u}\right)} = \int \frac{du}{u^2+1}. \]
$\dfrac{du}{1+u^2}$ 是对 $\arctan x$ 求导得到的结果。
因此积分为 $\arctan \epsilon^x$。
(3) $\int \dfrac{dx}{x^2+2x+3} = \int \dfrac{dx}{x^2+2x+1+2} = \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+(\sqrt 2)^2}$。
令 $x+1=u,\quad dx=du$；则积分变成 $\int \dfrac{du}{u^2+(\sqrt2)^2}$； 而 $\dfrac{du}{u^2+a^2}$ 是对 $u=\dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{u}{a}$ 求导得到的结果。
因此，所给积分的值最后为 $\dfrac{1}{\sqrt2} \arctan \dfrac{x+1}{\sqrt 2}$。
递推公式是一些特殊形式，主要用于需要积分的二项式表达式和三角表达式； 它们必须先化为某种已知积分的形式。
有理化和分母因式分解是在特殊情形下适用的小诀窍， 但它们没有什么简短而通用的说明。要熟悉这些预备步骤，需要大量练习。
下面的例子说明，拆分为部分分式这一过程，也就是我们在 第 XIII 章这里学过的，可以怎样用于积分。
再取 $\int \dfrac{dx}{x^2+2x+3}$；如果把 $\dfrac{1}{x^2+2x+3}$ 分解为部分分式，它就变成（见这里）： \[ \dfrac{1}{2\sqrt{-2}} \left[\int \dfrac{dx}{x+1-\sqrt{-2}} - \int \dfrac{dx}{x+1+\sqrt{-2}} \right] \] \[ =\dfrac{1}{2\sqrt{-2}} \log_\epsilon \dfrac{x+1-\sqrt{-2}}{x+1+\sqrt{-2}}. \] 注意，同一个积分有时可以用不止一种方式表示（这些表示彼此等价）。
陷阱。 初学者容易忽略一些熟练的人会避开的点；比如使用等于零或 无穷大的因子，以及出现 $\tfrac{0}{0}$ 这类不定量。没有一条金科玉律 能应付所有可能的情形。唯一有用的，是练习和机敏的细心。我们在 第 XVIII 章处理积分 $x^{-1}\, dx$ 时，就遇到过一个必须绕开的陷阱。
胜利。 这里说的胜利，是指微积分被用来解决那些用别的方法很难 处理的问题时取得的成功。研究物理关系时，我们常常能写出一个表达式， 表示各部分之间相互作用的规律，或支配它们的力的规律；这样的表达式 自然常常是微分方程的形式，也就是含有导数，并且可能还含有其他 代数量的方程。找到这样的微分方程后，除非把它积分出来，否则就再也 前进不了。一般说来，写出合适的微分方程，比解出它容易得多；真正的 麻烦只在你想积分时才开始。当然，如果看出这个方程具有某种已知积分 的标准形式，那胜利就来得轻松了。把微分方程积分后得到的方程，称为 它的“解”*；令人很惊奇的是，在许多情形下，这个解看起来好像和它 所来自的那个微分方程毫无关系。解与原来的表达式之间的差别，往往像 蝴蝶与它从前的毛毛虫那样大。谁会想到，这样一个看似无害的东西 \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{a^2-x^2} \] 竟能开成 \[ y = \dfrac{1}{2a} \log_\epsilon \dfrac{a+x}{a-x} + C? \] 然而后者正是前者的解。
作为最后一个例子，我们一起来把上面这个算出来。
用部分分式， \begin{align*} \frac{1}{a^2-x^2} &= \frac{1}{2a(a+x)} + \frac{1}{2a(a-x)}, \\ dy &= \frac {dx}{2a(a+x)}+ \frac{dx}{2a(a-x)}, \\ y &= \frac{1}{2a} \left( \int \frac{dx}{a+x} + \int \frac{dx}{a-x} \right) \\ &= \frac{1}{2a} \left(\log_\epsilon (a+x) - \log_\epsilon (a-x) \right) \\ &= \frac{1}{2a} \log_\epsilon \frac{a+x}{a-x} + C. \end{align*} 这变形也不算很难嘛！
有整本整本的专著，例如 Boole 的《微分方程》，专门讨论怎样 为各种不同的原始形式寻找这样的“解”。
(1) 求 $\int \sqrt {a^2 - x^2}\, dx$。
(2) 求 $\int x \log_\epsilon x\, dx$。
(3) 求 $\int x^a \log_\epsilon x\, dx$。
(4) 求 $\int \epsilon^x \cos \epsilon^x\, dx$。
(5) 求 $\int \dfrac{1}{x} \cos (\log_\epsilon x)\, dx$。
(6) 求 $\int x^2 \epsilon^x\, dx$。
(7) 求 $\int \dfrac{(\log_\epsilon x)^a}{x}\, dx$。
(8) 求 $\int \dfrac{dx}{x \log_\epsilon x}$。
(9) 求 $\int \dfrac{5x+1}{x^2 +x-2}\, dx$。
(10) 求 $\int \dfrac{(x^2 -3)\, dx}{x^3 - 7x+6}$。
(11) 求 $\int \dfrac{b\, dx}{x^2 -a^2}$。
(12) 求 $\int \dfrac{4x\, dx}{x^4 -1}$。
(13) 求 $\int \dfrac{dx}{1-x^4}$。
(14) 求 $\int \dfrac{dx}{x \sqrt {a-bx^2}}$。
(1) $\dfrac{x\sqrt{a^2 - x^2}}{2} + \dfrac{a^2}{2} \sin^{-1} \dfrac{x}{a} + C$。
(2) $\dfrac{x^2}{2}(\log_\epsilon x - \tfrac{1}{2}) + C$。
(3) $\dfrac{x^{a+1}}{a + 1} \left(\log_\epsilon x - \dfrac{1}{a + 1}\right) + C$。
(4) $\sin \epsilon^x + C$。
(5) $\sin(\log_\epsilon x) + C$。
(6) $\epsilon^x (x^2 - 2x + 2) + C$。
(7) $\dfrac{1}{a + 1} (\log_\epsilon x)^{a+1} + C$。
(8) $\log_\epsilon(\log_\epsilon x) + C$。
(9) $2\log_\epsilon(x - 1) + 3\log_\epsilon(x + 2) + C$。
(10) $\frac{1}{2} \log_\epsilon(x - 1) + \frac{1}{5} \log_\epsilon(x - 2) + \frac{3}{10} \log_\epsilon(x + 3) + C$。
(11) $\dfrac{b}{2a} \log_\epsilon \dfrac{x - a}{x + a} + C$。
(12) $\log_\epsilon \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} + C$。
(13) $\frac{1}{4} \log_\epsilon \dfrac{1 + x}{1 - x} + \frac{1}{2} \arctan x + C$。
(14) $\dfrac{1}{\sqrt{a}} \log_\epsilon \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{a - bx^2}}{x\sqrt{a}}$。（令 $\dfrac{1}{x} = v$；然后在结果中
令 $\sqrt{v^2 - \dfrac{b}{a}} = v - u$。）