我们已经看到，对一个分式求导时，必须做一个相当复杂的运算； 如果这个分式本身并不简单，结果也必然是一个复杂的表达式。如果我们能把这个分式拆成两个或多个更简单的分式， 并且它们的和等于原来的分式，那么就可以分别对这些更简单的表达式求导。 这样求导的结果就是两个（或更多个）微分的和，其中每一个都相对简单； 最终表达式当然与不用这个小诀窍也能得到的结果相同，但这样做省力得多，而且形式更简洁。
让我们看看怎样达到这个结果。先试着把两个分式相加，形成一个合成分式。 例如，取两个分式 $\dfrac{1}{x+1}$ 和 $\dfrac{2}{x-1}$。 每个学生都会把它们加起来，得到它们的和为 $\dfrac{3x+1}{x^2-1}$。 同样，他也能把三个或更多分式加在一起。现在，这个过程当然可以反过来： 也就是说，如果给出最后这个表达式，它一定能够以某种方式再拆回原来的组成部分，也就是部分分式。 只是对于呈现在我们面前的每一种情形，我们并不总知道怎样拆。为了弄清这一点， 我们先考虑一个简单情形。但要牢记，下面的一切只适用于所谓的“真”代数分式， 也就是像上面这样的分式，其分子的次数低于分母；换句话说， 分子中 $x$ 的最高指数小于分母中 $x$ 的最高指数。如果我们要处理像 $\dfrac{x^2+2}{x^2-1}$ 这样的表达式，可以先用除法化简，因为它等于 $1+\dfrac{3}{x^2-1}$；而 $\dfrac{3}{x^2-1}$ 是一个真代数分式， 可以按下面说明的方法拆成部分分式。
情形 I。 如果把两个或多个分式相加，而它们的分母只含有 $x$ 的一次项， 不含 $x^2$, $x^3$ 或 $x$ 的任何其他幂，我们总是会发现： 最后所得分式的分母，就是参与相加的各个分式分母的乘积。 因此，只要把最后这个分式的分母因式分解，就能找到我们要找的各个部分分式的分母。
假设我们想从 $\dfrac{3x+1}{x^2-1}$ 回到它的组成部分，而我们知道这些组成部分是 $\dfrac{1}{x+1}$ 和 $\dfrac{2}{x-1}$。如果不知道这些组成部分是什么， 仍然可以先这样写： \[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{3x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{}{x+1} + \frac{}{x-1}, \] 把分子的位置先留空，等知道该填什么时再填。我们总可以假定部分分式之间的符号是加号； 因为如果它本该是减号，我们只会求出相应的分子为负。现在，由于这些部分分式是真分式， 分子只是纯数字，完全不含 $x$，所以我们可以随意把它们叫做 $A$, $B$, $C\dots$。 因此在这个例子中，我们有： \[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}. \]
如果现在把这两个部分分式相加，得到 $\dfrac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$；它必须等于 $\dfrac{3x+1}{(x+1)(x-1)}$。由于这两个表达式的分母相同，分子也必须相等，于是得到： \[ 3x + 1 = A(x-1) + B(x + 1). \]
现在，这是一个有两个未知量的方程，看起来我们还需要另一个方程，才能解出 $A$ 和 $B$。不过还有另一种办法绕过这个困难。这个方程必须对所有 $x$ 的值成立； 因此，对于那些能使 $x-1$ 和 $x+1$ 变成零的 $x$ 值，也就是分别对 $x=1$ 和 $x=-1$，它也必须成立。如果令 $x=1$，得到 $4 = (A × 0)+(B × 2)$，所以 $B=2$；如果令 $x=-1$，得到 $-2 = (A × -2) + (B × 0)$，所以 $A=1$。把部分分式中的 $A$ 和 $B$ 换成这些新值，就得到 $\dfrac{1}{x+1}$ 和 $\dfrac{2}{x-1}$；事情就完成了。
再举一个例子，取分式 $\dfrac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3}$。 当 $x$ 取值 $1$ 时，分母变为零；因此 $x-1$ 是它的一个因子， 显然另一个因子就是 $x^2 + 4x + 3$；而它又可以分解成 $(x+1)(x+3)$。 所以可以把这个分式写成： \[ \frac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+3}, \] 得到三个部分分式项。
像前面一样处理，得到 \[ 4x^2 + 2x - 14 = A(x-1)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x-1). \]
现在，如果令 $x=1$，得到： \[ -8 = (A × 0) + B(2 × 4) + (C × 0);\quad \text{也就是 } B = -1. \]
如果 $x= -1$，得到： \[ -12 = A(-2 × 2) + (B × 0) + (C × 0);\quad \text{由此得 } A = 3. \]
如果 $x = -3$，得到： \[ 16 = (A × 0) + (B × 0) + C(-2 × -4);\quad \text{由此得 } C = 2. \]
于是部分分式为： \[ \frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+3}, \] 它比原来那个复杂表达式更容易对 $x$ 求导。
情形 II。 如果分母的某些因子含有 $x^2$ 项，而且不方便继续分解， 那么对应的分子除了一个简单数字之外，也可能含有 $x$ 项；因此就需要把这个未知分子表示成 $Ax + B$，而不是只用符号 $A$；其余计算和前面一样。 例如试试： \[ \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)}. \\ \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x+1};\\ -x^2 - 3 = (Ax + B)(x+1) + C(x^2+1). \]
令 $x= -1$，得到 $-4 = C × 2$；所以 $C = -2$； \begin{align*} \text{因此 } \; -x^2 - 3 &= (Ax + B)(x + 1) - 2x^2 - 2; \\ \text{且 } \; x^2 - 1 &= Ax(x+1) + B(x+1). \end{align*}
令 $x = 0$，得到 $-1 = B$； 因此 \[ x^2 - 1 = Ax(x + 1) - x - 1;\quad \text{即 } x^2 + x = Ax(x+1); \\ \text{且}\; x+1 = A(x+1), \] 所以 $A=1$，部分分式为： \[ \frac{x-1}{x^2+1} - \frac{2}{x+1}. \]
再取一个分式作为例子： \[ \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)}. \]
我们得到 \begin{align*} \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)} &= \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2}\\ &= \frac{(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+2)}. \end{align*}
在这种情形下，确定 $A$, $B$, $C$, $D$ 并不那么容易。按下面这样做会更简单： 由于给定分式与把部分分式相加所得的分式相等，并且有完全相同的分母， 所以分子也必须恒等相同。在这种情形下，对于我们这里处理的这些代数表达式， $x$ 的同次幂的系数相等，而且符号相同。
因此，因为 \begin{align*} x^3-2 &= (Ax+B)(x^2+2) + (Cx+D)(x^2+1) \\ &= (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (2A+C)x + 2B+D, \end{align*} 所以有 $1=A+C$；$0=B+D$（左边表达式中 $x^2$ 的系数为零）； $0=2A+C$；以及 $-2=2B+D$。这里有四个方程，很容易得到 $A=-1$；$B=-2$；$C=2$；$D=0$；因此部分分式为 $\dfrac{2(x+1)}{x^2+2} - \dfrac{x+2}{x^2+1}$。 这个方法总是可以使用；但在因子只含 $x$ 一次项的情形中，前面展示的方法最快。
情形 III。 当分母的因子中有某些被提升到某个幂次时， 必须允许存在这样的部分分式：其分母是该因子的各个幂，一直到最高幂为止。 例如，在拆分分式 $\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$ 时， 我们必须允许分母中可能出现 $x+1$，也可能出现 $(x+1)^2$ 和 $(x-2)$。
不过，可能有人会想，既然分母为 $(x+1)^2$ 的分式的分子可能含有 $x$ 项， 我们就必须为此把它的分子写成 $Ax+B$，于是 \[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{Ax+B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{x-2}. \] 然而，如果在这个情形下试图求 $A$, $B$, $C$ 和 $D$，就会失败， 因为有四个未知数，而只有三个关系把它们联系起来；不过 \[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{x-1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2}. \]
但如果写成 \[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{A}{(x+1)^2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2}, \] 得到 \[ 3x^2 - 2x+1 = A(x-2) + B(x+1)(x-2) + C(x+1)^2, \] 当 $x=2$ 时得到 $C=1$。把 $C$ 换成它的值，移项、合并同类项并除以 $x-2$，得到 $-2x= A+B(x+1)$；当 $x=-1$ 时，得到 $A=-2$。 把 $A$ 换成它的值，得到 \[ 2x = -2+B(x+1). \]
因此 $B=2$；所以部分分式为： \[ \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2}, \] 而不是上面所说的、产生 $\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$ 的那些分式 $\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x-1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x-2}$。 如果注意到 $\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$ 本身可以拆成两个分式 $\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{2}{(x+1)^2}$，这个疑团就解开了； 因此给出的三个分式实际上等价于 \[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2}, \] 这正是所得到的部分分式。
由此可见，每个分子只允许一个数值项就足够了，而且总能得到最终的部分分式。
不过，当分母中有 $x^2$ 因子的幂时，对应的分子必须是 $Ax+B$ 的形式；例如， \[ \frac{3x-1}{(2x^2-1)^2(x+1)} = \frac{Ax+B}{(2x^2-1)^2} + \frac{Cx+D}{2x^2-1} + \frac{E}{x+1}, \] 这给出 \[ 3x - 1 = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D)(x + 1)(2x^2 - 1) + E(2x^2 - 1)^2. \]
当 $x = -1$ 时，这给出 $E = -4$。代入、移项、合并同类项，并除以 $x + 1$，得到 \[ 16x^3 - 16x^2 + 3 = 2Cx^3 + 2Dx^2 + x(A - C) + (B - D). \]
因此 $2C = 16$，所以 $C = 8$；$2D = -16$，所以 $D = -8$； $A - C = 0$，也就是 $A - 8 = 0$，所以 $A = 8$；最后，$B - D = 3$， 也就是 $B = -5$。于是得到部分分式： \[ \frac{(8x - 5)}{(2x^2 - 1)^2} + \frac{8(x - 1)}{2x^2 - 1} - \frac{4}{x + 1}. \]
检查所得结果很有用。最简单的办法是，在给定表达式和所得部分分式中， 都用一个单独的值代替 $x$，比如 $+1$。
每当分母只含有单个因子的某个幂时，可以用下面这个很快的方法：
例如取 $\dfrac{4x + 1}{(x + 1)^3}$，令 $x + 1 = z$；于是 $x = z - 1$。
代入后得到 \[ \frac{4(z - 1) + 1}{z^3} = \frac{4z - 3}{z^3} = \frac{4}{z^2} - \frac{3}{z^3}. \]
因此，部分分式为 \[ \frac{4}{(x + 1)^2} - \frac{3}{(x + 1)^3}. \]
应用到求导。假设要求 $y = \dfrac{5-4x}{6x^2 + 7x - 3}$ 的导数；我们有 \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= -\frac{(6x^2+7x-3) × 4 + (5 - 4x)(12x + 7)}{(6x^2 + 7x - 3)^2}\\ &= \frac{24x^2 - 60x - 23}{(6x^2 + 7x - 3)^2}. \end{align*}
如果把给定表达式拆成 \[ \frac{1}{3x-1} - \frac{2}{2x+3}, \] 则得到 \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{(3x-1)^2} + \frac{4}{(2x+3)^2}, \] 这实际上正是上面的结果拆成部分分式后的形式。不过很容易看出， 如果在求导以后再拆分，会更复杂。等我们处理这类表达式的积分时， 会发现拆成部分分式是一个宝贵的帮手（见这里）。
拆成部分分式：
(1) $\dfrac{3x + 5}{(x - 3)(x + 4)}$.
(2) $\dfrac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)}$.
(3) $\dfrac{3x + 5}{x^2 + x - 12}$.
(4) $\dfrac{x + 1}{x^2 - 7x + 12}$.
(5) $\dfrac{x - 8}{(2x + 3)(3x - 2)}$.
(6) $\dfrac{x^2 - 13x + 26}{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}$.
(7) $\dfrac{x^2 - 3x + 1}{(x - 1)(x + 2)(x - 3)}$.
(8) $\dfrac{5x^2 + 7x + 1}{(2x + 1)(3x - 2)(3x + 1)}$.
(9) $\dfrac{x^2}{x^3 - 1}$.
(10) $\dfrac{x^4 + 1}{x^3 + 1}$.
(11) $\dfrac{5x^2 + 6x + 4}{(x +1)(x^2 + x + 1)}$.
(12) $\dfrac{x}{(x - 1)(x - 2)^2}$.
(13) $\dfrac{x}{(x^2 - 1)(x + 1)}$.
(14) $\dfrac{x + 3}{ (x +2)^2(x - 1)}$.
(15) $\dfrac{3x^2 + 2x + 1}{(x + 2)(x^2 + x + 1)^2}$.
(16) $\dfrac{5x^2 + 8x - 12}{(x + 4)^3}$.
(17) $\dfrac{7x^2 + 9x - 1}{(3x - 2)^4}$.
(18) $\dfrac{x^2}{(x^3 - 8)(x - 2)}$.
(1) $\dfrac{2}{ x - 3} + \dfrac{1}{ x + 4}$.
(2) $\dfrac{1}{ x - 1} + \dfrac{2}{ x - 2}$.
(3) $\dfrac{2}{ x - 3} + \dfrac{1}{ x + 4}$.
(4) $\dfrac{5}{ x - 4} - \dfrac{4}{ x - 3}$.
(5) $\dfrac{19}{13(2x + 3)} - \dfrac{22}{13(3x - 2)}$.
(6) $\dfrac{2}{ x - 2} + \dfrac{4}{ x - 3} - \dfrac{5}{ x - 4}$.
(7) $\dfrac{1}{6(x - 1)} + \dfrac{11}{15(x + 2)} + \dfrac{1}{10(x - 3)}$.
(8) $\dfrac{7}{9(3x + 1)} + \dfrac{71}{63(3x - 2)} - \dfrac{5}{7(2x + 1)}$.
(9) $\dfrac{1}{3(x - 1)} + \dfrac{2x + 1}{3(x^2 + x + 1)}$.
(10) $x + \dfrac{2}{3(x + 1)} + \dfrac{1 - 2x}{3(x^2 - x + 1)}$.
(11) $\dfrac{3}{(x + 1)} + \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$.
(12) $\dfrac{1}{ x - 1} - \dfrac{1}{ x - 2} + \dfrac{2}{(x - 2)^2}$.
(13) $\dfrac{1}{4(x - 1)} - \dfrac{1}{4(x + 1)} + \dfrac{1}{2(x + 1)^2}$.
(14) $\dfrac{4}{9(x - 1)} - \dfrac{4}{9(x + 2)} - \dfrac{1}{3(x + 2)^2}$.
(15) $\dfrac{1}{ x + 2} - \dfrac{x - 1}{ x^2 + x + 1} - \dfrac{1}{(x^2 + x + 1)^2}$.
(16) $\dfrac{5}{ x + 4} -\dfrac{32}{(x + 4)^2} + \dfrac{36}{(x + 4)^3}$.
(17) $\dfrac{7}{9(3x - 2)^2} + \dfrac{55}{9(3x - 2)^3} + \dfrac{73}{9(3x - 2)^4}$.
(18) $\dfrac{1}{6(x - 2)} + \dfrac{1}{3(x - 2)^2} - \dfrac{x}{6(x^2 + 2x + 4)}$.
考虑函数（见这里）$y = 3x$；它可以表示成 $x = \dfrac{y}{3}$ 的形式；后面这种形式叫做原来函数的反函数。
如果 $y = 3x$， $\dfrac{dy}{dx} = 3$；如果 $x=\dfrac{y}{3}$， $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{3}$， 于是我们看到 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ }\quad \text{或}\quad \frac{dy}{dx} × \frac{dx}{dy} = 1. \]
考虑 $y= 4x^2$，$\dfrac{dy}{dx} = 8x$；反函数是 \[ x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2},\quad \text{且}\quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{4\sqrt{y}} = \frac{1}{4 × 2x} = \frac{1}{8x}. \] \begin{align*} \text{这里同样有}\; \frac{dy}{dx}×\frac{dx}{dy} &= 1. \end{align*}
可以证明，对于所有能够写成反函数形式的函数，总可以写成 \[ \frac{dy}{dx} × \frac{dx}{dy} = 1\quad \text{或}\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ }. \]
由此可知，给定一个函数时，如果对它的反函数求导更容易，就可以这样做； 反函数导数的倒数，就是给定函数本身的导数。
作为例子，假设我们想对 $y=\sqrt[2]{\dfrac{3}{x}-1}$ 求导。 我们已经见过一种做法：写成 $u=\dfrac{3}{x}-1$，并求 $\dfrac{dy}{du}$ 和 $\dfrac{du}{dx}$。这给出 \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{\dfrac{3}{x} -1}}. \]
如果我们忘了怎样用这种方法进行，或者想用另一种求导数的方法来检查结果， 又或者出于其他原因无法使用普通方法，就可以这样做：反函数是 $x=\dfrac{3}{1+y^2}$。 \[ \frac{dx}{dy} = -\frac{3 × 2y}{(1+y^2)^2} = -\frac{6y}{(1+y^2)^2}; \] 因此 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ } = -\frac{(1+y^2)^2}{6y} = -\frac{\left(1+\dfrac{3}{x} -1\right)^2}{6×\sqrt[2]{\dfrac{3}{x}-1}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{\dfrac{3}{x}-1}}. \]
再取另一个例子：$y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\theta +5}}$。
反函数是 $\theta=\dfrac{1}{y^3}-5$，或 $\theta=y^{-3}-5$，并且 \[ \frac{d\theta}{dy} = -3y^{-4} = -3\sqrt[3]{(\theta + 5)^4}. \]
因此 $\dfrac{dy}{d\theta} = -\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(\theta +5)^4}}$，这也可以用别的方法求得。
以后我们会发现这个小诀窍非常有用；在此期间，建议你用它来验证下列结果， 以便熟悉它：习题 I（这里）第 5、6、7 题； 例题（这里）第 1、2、4 题； 以及习题 VI（这里）第 1、2、3、4 题。
通过本章和上一章，你一定会意识到，在许多方面，微积分与其说是一门科学，
不如说是一门技艺：它像所有其他技艺一样，只有通过练习才能掌握。
所以你应当做许多例题，并给自己另外出一些题，看看能不能解出来，
直到各种技巧都因使用而变得熟悉。