本章我们要动手求解几个重要的微分方程，为此使用前几章展示过的 那些方法。
初学者现在已经知道，这些方法本身大多很容易；但到这里他就会开始 明白，积分是一门技艺。和一切技艺一样，要熟练掌握它，只有靠勤奋 而有规律的练习。想达到这种熟练程度的人，必须做例题，更多例题， 再更多例题；这些题在各种正规的微积分论著中比比皆是。我们在这里只能 为正式学习作一个最简短的引入。
例 (1.) 求微分方程 \[ ay + b \frac{dy}{dx} = 0. \] 的解。
移项得 \[ b \frac{dy}{dx} = -ay. \]
现在只要看一眼这个关系，就知道我们碰到的是 $\dfrac{dy}{dx}$ 与 $y$ 成比例的情形。如果把 $y$ 看成 $x$ 的函数所表示的曲线， 那么这条曲线在任一点的斜率，将与该点的纵坐标成比例；如果 $y$ 为正， 斜率就是负的。所以很明显，这条曲线会是一条逐渐衰减的曲线，解里会 含有 $\epsilon^{-x}$ 这个因子。不过，先别太依赖这点小聪明，我们还是 动手做吧。
方程里既有 $y$ 又有 $dy$，而且它们在两边；在把 $y$ 和 $dy$ 都移到 一边、把 $dx$ 移到另一边之前，我们什么也做不了。为此，我们必须把 通常形影不离的伙伴 $dy$ 和 $dx$ 拆开。 \[ \frac{dy}{y} = - \frac{a}{b}\, dx. \]
做完这件事后，现在可以看出，两边都已经成了可积分的形状，因为 我们认出 $\dfrac{dy}{y}$，也就是 $\dfrac{1}{y}\, dy$，正是我们在 对对数求导时见过的微分（见这里）。所以可以立刻写下 积分指令， \[ \int \frac{dy}{y} = \int -\frac{a}{b}\, dx; \] 把两边积分，得到： \[ \log_\epsilon y = -\frac{a}{b} x + \log_\epsilon C, \] 其中 $\log_\epsilon C$ 是尚未确定的积分常数。然后去掉对数，得到： \[ y = C \epsilon^{-\frac{a}{b} x}, \] 这就是所要求的解*。现在，这个解看起来和构造出它的原微分方程 很不一样；然而对熟练的数学家来说，它们传达的是同一件事：$y$ 怎样 依赖于 $x$。
现在说说 $C$。它的意义取决于 $y$ 的初始值。因为如果令 $x = 0$， 看看此时 $y$ 取什么值，就会发现 $y = C \epsilon^{-0}$；而 $\epsilon^{-0} = 1$，所以 $C$ 不过就是开始时 $y$ 的那个特定值*。 我们可以把它叫作 $y_0$，于是把解写成 \[ y = y_0 \epsilon^{-\frac{a}{b} x}. \]
例 (2.)
我们再取下面这个例子来解： \[ ay + b \frac{dy}{dx} = g, \] 其中 $g$ 是常数。再一次，观察这个方程会提示我们：(1) 不知怎么地， $\epsilon^x$ 会进入解中；(2) 如果曲线的某处 $y$ 达到极大值或极小值， 使得 $\dfrac{dy}{dx} = 0$，那么 $y$ 的值将是 $= \dfrac{g}{a}$。 不过我们还是像以前一样动手，把微分分离开，并试着把它变成某种 可积分的形状。 \begin{align*} b\frac{dy}{dx} &= g -ay; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{a}{b}\left(\frac{g}{a}-y\right); \\ \frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}} &= -\frac{a}{b}\, dx. \end{align*}
现在我们已经尽力让一边只剩 $y$ 和 $dy$，另一边只剩 $dx$。 但左边得到的东西可积分吗？
它与这里的结果同形；所以写下积分指令，得到： \[ \int{\frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}}} = - \int{\frac{a}{b}\, dx}; \] 积分并加上适当的常数， \begin{align*} \log_\epsilon\left(y-\frac{g}{a}\right) &= -\frac{a}{b}x + \log_\epsilon C; \\ \text{于是}\;\; y-\frac{g}{a} &= C\epsilon^{-\frac{a}{b}x}; \\ \text{最后}\;\; y &= \frac{g}{a} + C\epsilon^{-\frac{a}{b}x}, \end{align*} 这就是解。
如果给定条件：当 $x = 0$ 时 $y = 0$，我们就能求出 $C$； 因为此时指数项变成 $= 1$；于是有 \begin{align*} 0 &= \frac{g}{a} + C, \\ \text{或}\; C &= -\frac{g}{a}. \end{align*}
代入这个值，解变为 \[ y = \frac{g}{a} (1-\epsilon^{-\frac{a}{b} x}). \]
再进一步，如果 $x$ 无限增大，$y$ 将增长到一个极大值；因为当 $x=\infty$ 时，指数项 $= 0$，从而 $y_{\text{最大}} = \dfrac{g}{a}$。 代入这一点，最后得到 \[ y = y_{\text{最大}}(1-\epsilon^{-\frac{a}{b} x}). \]
这个结果在物理科学中也很重要。
例 (3.) 设 $ay+b\frac{dy}{dt} = g · \sin 2\pi nt$。
我们会发现，这个比前面的难对付得多。先通除以 $b$。 \[ \frac{dy}{dt} + \frac{a}{b}y = \frac{g}{b} \sin 2\pi nt. \]
现在照它原来的样子，左边不能积分。但有一个手段可以把它变成 可积分的形式，这也正是技巧和练习会提示办法的地方：把所有项都乘以 $\epsilon^{\frac{a}{b} t}$，得到： \[ \frac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + \frac{a}{b} y \epsilon^{\frac{a}{b} t} = \frac{g}{b} \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \sin 2 \pi nt, \] 这等同于 \[ \frac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + y \frac{d(\epsilon^{\frac{a}{b} t})}{dt} = \frac{g}{b} \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \sin 2 \pi nt; \] 而这是一个完全微分，所以可以这样积分：因为若 $u = y\epsilon^{\frac{a}{b} t}$， 则 $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + y \dfrac{d(\epsilon^{\frac{a}{b} t})}{dt}$， \begin{align*} y \epsilon^{\frac{a}{b} t} &= \frac{g}{b} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \sin 2 \pi nt · dt + C, \\ \text{或}\quad y &= \frac{g}{b} \epsilon^{-\frac{a}{b} t} \int \epsilon^{ \frac{a}{b} t} · \sin 2\pi nt · dt + C\epsilon^{-\frac{a}{b} t}. \tag*{[A]} \end{align*}
最后一项显然会随着 $t$ 的增大而衰减，可以略去。现在的麻烦在于， 要找出作为因子出现的那个积分。为处理它，我们借助分部积分这个办法 （见这里），其通式为 $\int u dv = uv - \int v du$。 为此写作 \begin{align*} &\left\{ \begin{aligned} u &= \epsilon^{\frac{a}{b} t}; \\ dv &= \sin 2\pi nt · dt. \end{aligned} \right. \\ \end{align*} 于是有 \begin{align*} &\left\{ \begin{aligned} du &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} × \frac{a}{b}\, dt; \\ v &= - \frac{1}{2\pi n} \cos 2\pi nt. \end{aligned} \right. \end{align*}
代入这些，所讨论的积分变成： \begin{align*} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} &{} · \sin 2 \pi n t · dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} · \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \cos 2 \pi nt -\int -\frac{1}{2\pi n} \cos 2 \pi nt · \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \frac{a}{b}\, dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cos 2 \pi nt +\frac{a}{2 \pi nb} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \cos 2 \pi nt · dt. \tag*{[B]} \end{align*}
最后这个积分仍然不可化简。为了绕开这个困难，对左边再次分部积分， 但这次反过来处理，写成： \begin{align*} &\left\{ \begin{aligned} u &= \sin 2 \pi n t ; \\ dv &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} · dt; \end{aligned} \right. \\[1ex] \text{于是} &\left\{ \begin{aligned} du &= 2 \pi n · \cos 2 \pi n t · dt; \\ v &= \frac{b}{a} \epsilon ^{\frac{a}{b} t} \end{aligned} \right. \end{align*}
代入这些，得到 \begin{align*} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} &{} · \sin 2 \pi n t · dt\\ &= \frac{b}{a} · \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \sin 2 \pi n t - \frac{2 \pi n b}{a} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \cos 2 \pi n t · dt. \tag*{[C]} \end{align*}
注意到 [C] 中最后那个难处理的积分，与 [B] 中的那个相同；因此可以 把它消去，办法是把 [B] 乘以 $\dfrac{2 \pi nb}{a}$，把 [C] 乘以 $\dfrac{a}{2 \pi nb}$，然后相加。
整理后的结果是： \begin{align*} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \sin 2 \pi n t · dt &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} \left\{\frac{ ab · \sin 2 \pi nt - 2 \pi n b^2 · \cos 2 \pi n t}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2 } \right\} \tag*{[D]} &\\ \end{align*} 把这个值代入 [A]，得到 \begin{align*} y &= g \left\{\frac{ a · \sin 2 \pi n t - 2 \pi n b · \cos 2 \pi nt}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}\right\}. & \end{align*}
为了进一步简化，设想有一个角 $\phi$，使得 $\tan \phi = \dfrac{2 \pi n b}{ a}$。 那么 \[ \sin \phi = \frac{2 \pi nb}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \] 并且 \[ \cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}. \\ \] 代入这些，得到： \[ y = g \frac{\cos \phi · \sin 2 \pi nt - \sin \phi · \cos 2 \pi nt}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \\ \] 也可写成 \[ y = g \frac{\sin(2 \pi nt - \phi)}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \] 这就是所要求的解。
这其实正是交流电的方程，其中 $g$ 表示电动势的振幅，$n$ 表示频率， $a$ 表示电阻，$b$ 表示电路的自感系数，而 $\phi$ 是滞后角。
例 (4.) 假设 $M\, dx + N\, dy = 0.$
如果 $M$ 只是 $x$ 的函数，而 $N$ 只是 $y$ 的函数，我们就能直接 积分这个表达式；但是，如果 $M$ 和 $N$ 都是同时依赖 $x$ 与 $y$ 的函数， 那又该怎样积分呢？它本身是不是一个恰当微分？也就是说，$M$ 和 $N$ 是不是都由某个共同函数 $U$ 偏微分而来？如果是，那么 \[\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial x} = M, \\ \frac{\partial U}{\partial y} = N. \end{aligned} \right. \] 而如果存在这样一个共同函数，那么 \[ \frac{\partial U}{\partial x}\, dx + \frac{\partial U}{\partial y}\, dy \] 就是一个恰当微分（参看这里）。
现在检验方法如下。如果这个表达式是恰当微分，就必须有 \begin{align*} \frac{dM}{dy} &= \frac{dN}{dx}; \\ \text{因为此时}\; \frac{d(dU)}{dx\, dy} &= \frac{d(dU)}{dy\, dx},\\ \end{align*} 而这必然成立。
举下面这个方程作例子： \[ (1 + 3 xy)\, dx + x^2\, dy = 0. \]
这是不是恰当微分？应用检验。 \[\left\{ \begin{aligned} \frac{d(1 + 3xy)}{dy}=3x, \\ \dfrac{d(x^2)}{dx} = 2x, \end{aligned} \right. \] 二者不相等。因此，它不是恰当微分，$1+3xy$ 和 $x^2$ 这两个函数 并不是来自同一个原函数。
不过在这种情形下，有时可以发现一个积分因子；也就是说，有这样 一个因子，把两项都乘以它之后，表达式就会变成恰当微分。发现这样的 积分因子没有一条统一规则；但经验通常会提示一个。在当前例子里， $2x$ 就能起到这个作用。乘以 $2x$，得到 \[ (2x + 6x^2y)\, dx + 2x^3\, dy = 0. \]
现在对它应用检验。 \[ \left\{ \begin{aligned} \frac{d(2x + 6x^2y)}{dy}=6x^2, \\ \dfrac{d(2x^3)}{dx} = 6x^2, \end{aligned} \right. \] 二者相等。因此这是一个恰当微分，可以积分。现在，若 $w = 2x^3y$， \[ dw=6x^2y\, dx + 2x^3\, dy. \] 因此 \[ \int 6x^2y\, dx + \int 2x^3\, dy=w=2x^3y; \] 所以得到 \[ U = x^2 + 2x^3y + C. \]
在这个情形中，我们有一个二阶微分方程，其中 $y$ 既以二阶导数的形式 出现，也以它本身出现。
移项得 $\dfrac{d^2 y}{dt^2} = - n^2 y$。
由此可见，我们面对的是这样一个函数：它的二阶导数与它自身成比例， 但符号相反。在第 XV 章中，我们发现有这样的函数，也就是正弦 （或者余弦也可以），具有这个性质。所以不用多说，我们可以推断 解会具有 $y = A \sin (pt + q)$ 的形式。不过，还是动手算一下。
把原方程两边都乘以 $2\dfrac{dy}{dt}$ 并积分，得到 $2\dfrac{d^2 y}{dt^2}\, \dfrac{dy}{dt} + 2x^2 y \dfrac{dy}{dt} = 0$，并且由于 \[ 2 \frac{d^2y}{dt^2}\, \frac{dy}{dt} = \frac{d \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}{dt},\quad \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + n^2 (y^2-C^2) = 0, \] $C$ 为常数。然后开平方根， \[ \frac{dy}{dt} = -n \sqrt{ y^2 - C^2}\quad \text{且}\quad \frac{dy}{\sqrt{C^2 - y^2}} = n · dt. \]
但可以证明（见这里） \[ \frac{1}{\sqrt{C^2 - y^2}} = \frac{d (\arcsin \dfrac{y}{C})}{dy}; \] 于是，从角转到正弦， \[ \arcsin \frac{y}{C} = nt + C_1\quad \text{且}\quad y = C \sin (nt + C_1), \] 其中 $C_1$ 是积分时引入的常角。
或者，更好的写法是 \[ y = A \sin nt + B \cos nt, \text{这就是解。} \]
例 (6.) $\dfrac{d^2 y}{dt^2} - n^2 y = 0$。
这里显然要处理的是一个函数 $y$，它的二阶导数与它自身成比例。 我们知道具有这个性质的唯一函数就是指数函数（见这里）， 因此可以断定，这个方程的解将具有那种形式。
照前面的办法，把全式乘以 $2 \dfrac{dy}{dx}$ 并积分，得到 $2\dfrac{d^2 y}{dx^2}\, \dfrac{dy}{dx} - 2x^2 y \dfrac{dy}{dx}=0$， 并且由于 \[ 2\frac{d^2 y}{dx^2}\, \frac{dy}{dx} = \frac{d \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}{dx},\quad \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - n^2 (y^2 + c^2) = 0, \\ \frac{dy}{dx} - n \sqrt{y^2 + c^2} = 0, \] 其中 $c$ 是常数，并且 $\dfrac{dy}{\sqrt{y^2 + c^2}} = n\, dx$。
现在，若 \[ \quad w = \log_\epsilon ( y+ \sqrt{y^2+ c^2}) = \log_\epsilon u,\\ \frac{dw}{du} = \frac{1}{u},\quad \frac{du}{dy} = 1 + \frac{y}{\sqrt{y^2 + c^2}} = \frac{y + \sqrt{ y^2 + c^2}}{\sqrt{y^2 + c^2}} \\ \] 并且 \[ \frac{dw}{dy} = \frac{1}{\sqrt{ y^2 + c^2}}. \]
因此，积分给出 \[ \log_\epsilon (y + \sqrt{y^2 + c^2} ) = nx + \log_\epsilon C, \\ y + \sqrt{y^2 + c^2} = C \epsilon^{nx}. \tag*{(1)} \\ \] \[ \text{现在}\; \qquad ( y + \sqrt{y^2 + c^2} ) × ( -y + \sqrt{y^2 + c^2} ) = c^2 ; \\ \text{于是}\; \qquad -y + \sqrt{y^2 + c^2} = \dfrac{c^2}{C} \epsilon^{-nx}. \tag*{(2)} \]
用 (1) 减去 (2)，再除以 $2$，于是有 \[ y = \frac{1}{2} C \epsilon^{nx} - \frac{1}{2}\, \frac{c^2}{C} \epsilon^{-nx}, \] 更方便的写法是 \[ y = A \epsilon^{nx} + B \epsilon^{-nx}. \] 换句话说，这个乍看似乎与原方程毫无关系的解表明，$y$ 由两项组成： 一项随 $x$ 增大而按指数方式增长，另一项随 $x$ 增大而衰减。 （原文作“按对数方式增长”，疑为误写。）
例 (7.) 设 \begin{align*} b \frac{d^2y}{dt^2} + a \frac{dy}{dt} + gy &= 0. \end{align*}
检查这个表达式会发现，如果 $b = 0$，它就具有例 1 的形式，而例 1 的解是负指数。另一方面，如果 $a = 0$，它的形式就与例 6 相同，而例 6 的解是一个正指数和一个负指数之和。因此，发现当前例子的解是下面这样， 也就不十分奇怪了： \begin{align*} y &= (\epsilon^{-mt})(A \epsilon^{nt} + B \epsilon^{-nt}), \\ \text{其中}\; m &= \frac{a}{2b}\quad \text{且}\quad n = \sqrt{\frac{a^2}{4b^2}} - \frac{g}{b}. \end{align*}
这里不列出得到这个解的步骤；它们可以在高等论著中找到。
例 (8.) \[ \frac{d^2y}{dt^2} = a^2 \frac{d^2y}{dx^2}. \]
我们曾见过（这里），这个方程是从原来的 \[ y = F(x+at) + f(x-at), \] 推出来的，其中 $F$ 和 $f$ 是 $t$ 的任意函数。
处理它的另一种方法，是通过换元把它变为 \[ \frac{d^2y}{du · dv} = 0, \] 其中 $u = x + at$，且 $v = x - at$，从而得到同一个通解。 如果考虑 $F$ 消失的情形，那么只剩下 \[ y = f(x-at); \] 这只是说，在时刻 $t = 0$，$y$ 是 $x$ 的某个特定函数；也可以把它看作 表示 $y$ 与 $x$ 关系的曲线具有某种特定形状。于是，$t$ 的任何变化， 都只等价于改变计算 $x$ 时所用的原点。也就是说，它表示函数的形状 保持不变，并以匀速 $a$ 沿 $x$ 方向传播；所以，在任一特定时刻 $t_0$、 任一特定点 $x_0$ 处，纵坐标 $y$ 不论取什么值，到了后来的时刻 $t_1$， 同一个 $y$ 值都会出现在更前方的一个点，其横坐标为 $x_0 + a(t_1 - t_0)$。在这种情形下，简化后的方程表示一个波（形状任意） 沿 $x$ 方向以匀速传播。
如果微分方程写成 \[ m \frac{d^2y}{dt^2} = k\, \frac{d^2y}{dx^2}, \] 解仍然相同，但传播速度的值将是 \[ a = \sqrt{\frac{k}{m}}. \]
现在，你已经被亲自带过边界，进入了这片迷人的土地。为了让你手边
有一份主要结果的便捷参考，作者在告别时，谨呈上一张护照，也就是这份
方便的标准形式汇集。中间一栏列出若干最常出现的函数；
左边列出对它们求导的结果；右边列出对它们积分的结果。愿它们对你有用！